Übung Aufgaben 6 (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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= Aufgabe zur Inzidenz =
= Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung =
=== Aufgabe 6.1 ===
== Aufgabe 6.1 ==
 
Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade <math>AB^+</math> und die Halbgerade <math>AB^-</math>. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)<br />
 
[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]


Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />
== Aufgabe 6.1 ==


Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?<br />
Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left| AB \right| </math> =  <math>\left| BA \right| </math><br />
[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]


= Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung =


==Aufgabe 5.2==
==Aufgabe 5.2==
Diese Aufgabe war letzte Woche noch zu schwer- sorry dafür. Versuchen Sie es diese Woche nochmal.<br />
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt:<br />
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt:<br />
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math>  <math>\overline{AC} </math>
<math>\operatorname Zw (A, B, C) </math> <math>\Rightarrow </math> <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math>  <math>\overline{AC} </math>
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==Aufgabe 5.4==
==Aufgabe 5.4==
Wie bei 5.2: Versuchen Sie es diese Woche nochmal.<br />
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math>  <math>\overline{AC} </math>
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> \subset</math>  <math>\overline{AC} </math>
<br />
<br />
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[[Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]
[[Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)]]


=== Aufgabe 6.1 ===


Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade <math>AB^+</math> und die Halbgerade <math>AB^-</math>. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)


[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
= Aufgabe zur Inzidenz =
=== Zusatzaufgabe 6.1 ===


=== Aufgabe 6.1 ===
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält.<br />
 
a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. <br />
b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?<br />
::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.<br />


[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]


 
= Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung =
=== Aufgabe 6.1 ===
=== Zusatzaufgabe 6.1 ===


Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.<br />
Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.<br />
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[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]


=== Aufgabe 6.1 ===
=== Zusatzaufgabe 6.1 ===
 
Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?<br />
Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt: <math>\left| AB \right| </math> =  <math>\left| BA \right| </math><br />
[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
 
=== Aufgabe 6.1 ===
== Aufgabe 9.1 ==
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?
 
a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>
 
b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>
c) <math>\ AB </math> geschnitten mit dem Kreis um <math>\ A </math> durch <math>\ B </math> =
 
d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>


a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten. <br />
b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?<br />
::Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.<br />


[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]
[[Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)]]

Version vom 16. Mai 2012, 15:07 Uhr

Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung

Aufgabe 6.1

Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade AB+ und die Halbgerade AB−. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".)

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)

Aufgabe 6.1

Warum ist die folgende Aufgabenstellung sinnlos?
Beweisen Sie Axiom II.2: Für beliebige Punkte A und B gilt: |AB| = |BA|
Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)


Aufgabe 5.2

Diese Aufgabe war letzte Woche noch zu schwer- sorry dafür. Versuchen Sie es diese Woche nochmal.
Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte  A,B und  C gilt:
Z⁡w(A,B,C) ⇒ AB‾ ⊂ AC‾

Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe_12)

Aufgabe 5.4

Wie bei 5.2: Versuchen Sie es diese Woche nochmal.
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke AB‾ existiert genau eine Strecke AC‾ auf  AB+ mit |AB|=14|AC| und AB‾ ⊂ AC‾
Tipps zu Aufgabe 5.4 (SoSe_12)

Lösung von Aufgabe 5.4 (SoSe_12)


Aufgabe zur Inzidenz

Zusatzaufgabe 6.1

Es sei  g eine Gerade und  P ein Punkt, der nicht zu  g gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene  ϵ, die sowohl alle Punkte von  g als auch den Punkt  P enthält.

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)

Aufgaben zum Abstand und zur Anordnung

Zusatzaufgabe 6.1

Im Skript steht als Beweis "trivial". Führen Sie die Beweise trotzdem mal durch. Gehen Sie kleinschrittig und gut begründet vor.
Beweisen Sie:
a) Z⁡w(A,B,C) ⇒ Z⁡w(C,B,A)
b) Z⁡w(A,B,C) ⇒ k⁡oll(A,B,C)

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)

Zusatzaufgabe 6.1

a) Definieren Sie windschief auf der Menge aller Geraden (d.h.im Raum) auf zwei verschiedene Arten.
b) Warum ist die folgende Definition sinnlos?

Zwei Ebenen sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und sie nicht parallel zueinander sind.

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe_12)

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