Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 (SoSe 12)

Aufgabe 1

Beweisen Sie Satz I.5 : Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Hier mal meine Lösung:

Vor: E1 ungleich E2

Beh:E1 geschnitten E2 = ( ) oder E1 geschnitten E2= (Gerade g)

Direkter Beweis zwei Fälle

Fall 1:

1) E1=E2 laut Vor.

2) E1 parallel E2 laut Def I/10 (1)

3) E1 geschnitten E2 = ( ) q.e.d

Fall 2:

1) E1 ungleich E2 laut Vor.

2) Es existieren die Punkte A,B,C für die gilt, A,B,C Element E1 und es existieren die Punkte C,D,E für die gilt C,D,E element E2 laut Axiom I/4 und (1)

3) C ist Element E1 und C Element E2 laut (2)

4) es exist. ein Punkt P für den gilt P element E1 und P element E2 laut Axiom I/6

5) es exist. eine Gerade g für die gilt P ist element von g und C ist element von g laut Axiom I/1, (4), (3)

6) E1 geschnitten E2 = Gerdade g q.e.d