Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

     Behauptung: nkoll (ABC)$\bigvee$nkoll(BCD)$\bigvee$nkoll(CDA)$\bigvee$nkoll(BCA)

  Annahme: nkomp (ABCD)$\bigwedge$koll (ABC) oBdA

1 Fall: D $\in$ g

2 Fall: D ist nicht $\in$ g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig????? Vor: nkomp(A,B,C,D) Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--Nemo81 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C), Fall 1: D nicht Element g, Fall 2: D Element g

Beweis:

Fall 1:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) $\mathrm{\exists }$ g: A,B,C $\in$ und D$\in ̸$g; Ann, (1)

(3) $\mathrm{\exists }$ Ebene E: A,B,D $\in$ E; Ax. I/4, (2)

(4) $\mathrm{\exists }$ Ebene E: A,B,C,D $\in$ E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Fall 2:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) $\mathrm{\exists }$ g: A,B,C $\in$ g und D$\in$g; Ann, (1)

(3) $\mathrm{\exists }$ g: A,B,C,D $\in$ g; (2)

(4) $\mathrm{\exists }$P: nkoll(A,B,P); Ax I/3

(5) $\mathrm{\exists }$ Ebene E: A,B,C,D,P $\in$ Ebene E; Ax. I/4, Ax. I/5, (4), (3)

(6) komp(A,B,C,D)

--Mohnkuh 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)