Lösung von Zusatzaufgabe 3.4 (SoSe 12)

Aufgabe 4

Beweisen Sie die Äquvalenzaussage Für alle n $ϵ$ $\mathbb{\mathbb{N}}$ gilt: n ist gerade $\iff$ n² ist gerade.

Implikation: Wenn $n\in N$ gerade ist, dann ist auch $n^2$ gerade.
Umkehrung: Wenn $n^2$ gerade ist, dann ist auch $n\in N$ gerade.

Beweis Implikation:
Voraussetzung: $n\in N$ gerade
Behauptung:$n^2$ gerade
Annahme: $n^2$ ungerade

(1) $n\in N$ gerade / Vor.
(2) $n^2$ kann nur ungerade sein, wenn man zwei ungerade Zahlen miteinander multipliziert. / trivial, Widerspruch zur Vor.
(3) Annahme zu verwerfen. / (2)
(4) Behauptung stimmt / (3)
q.e.d.

Beweis Umkehrung:
Voraussetzung: $n^2$ gerade
Behauptung: $n\in N$ gerade
Annahme: $n\in N$ ungerade

(1) $n^2$ gerade / Vor.
(2) $n\in N$ kann nur gerade sein, wenn die Quadratwurzel (nach Vor.) gerade ist. / trivial, Widerspruch zur Vor.
(3) Annahme zu verwerfen. / (2)
(4) Behauptung stimmt / (3)
q.e.d.
--Tchu Tcha Tcha 10:30, 8. Jun. 2012 (CEST)