Lösung von Aufgabe 6.4

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C. Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.

Eins

Beweisschritt	Begründung
(1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B B nicht identisch C C nicht identlich A || 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor. von Maude001 und Nicola

Zwo

Behauptung:

Wenn eine Ebene $\mathrm{E}$ existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.

Vorraussetzung:

Es existiert eine Ebene $\mathrm{E}$ mit A, B, C $\in$ $\mathrm{E}$

Annahme:

A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

Fall 1:

koll(A, B, C) <-> A, B, C $\in$ Gerade g Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C $\in$ $\mathrm{E}$ und (nach Fallunterscheidung) A, B, C $\in$ g. Dann greift Axiom I/5

       Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E. 

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

Fall 2:

Je zwei Punkte sind kollinear.
o.B.d.A koll(A, B) -> A, B $\in$ Gerade g $\wedge$ C $\ni$ Gerade g
nkoll(A, B, C)
Nun besagt Axiom I/4

       Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für Satz I.7 ?

Zusatz: Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

       Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. 

--Heinzvaneugen