Lösung von Aufg. 12.1 S

Aufgabe 12.1

Man beweise: Ein Punkt $P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils denselben Abstand hat.

Lösungsversuch Lerngruppe Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

d.h.
1)$P\in w_{\alpha }\Rightarrow |P,S{A}^{+}|\widetilde{=}|P,S{B}^{+}|$
2)$|P,S{A}^{+}|\widetilde{=}|P,S{B}^{+}|\Rightarrow P\in w_{\alpha }$


zu 1)
(1)$\left|\mathrm{\angle }BSP\right|=\left|\gamma \right|\widetilde{=}\left|\mathrm{\angle }PSA\right|=\left|\beta \right|$ // Vor.
(2)$\overline{SP}\widetilde{=}\overline{SP}$ // trivial
(3)Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \exists l_1:l_1 \cap w_\alpha=\{P}\wedge l_1 \cap SA=\{L_A}\wedge l_1 \perp SA} // Ex. & Eind. der Senkrechten durch P zu SA
(4) $\overline{L_{A}P}$ ist Lot // (3), Def. Lot
(5)$\left|\overline{S{L}_A}\right|=\left|d\right|$ // Axiom II/1 (Abstandsaxiom)
(6)$\mathrm{\exists }{L}_B:L_B\in S{B}^{+}\wedge \left|\overline{S{L}_B}\right|=\left|d\right|$ // Axiom v. Lineal, (5)
(7)$\overline{PS{L}_B}\widetilde{=}\overline{PS{L}_A}$ // (1),(2),(5),(6), SWS
(8)$da\left|\mathrm{\angle }S{L}_{A}P\right|=90mussauch\left|\mathrm{\angle }S{L}_{B}P\right|=90$ // (3),(7), Dreieckskongruenz
(9)$\overline{P{L}_A}\widetilde{=}\overline{P{L}_B}$ // (7), Dreieckskongruenz
qed
zu 2)
(1) $\overline{SP}\widetilde{=}\overline{SP}$ // trivial
(2)$|P,S{A}^{+}|\widetilde{=}|P,S{B}^{+}|$ // Voraussetzung
(3)$\left|\mathrm{\angle }S{L}_{B}P\right|=90=\left|\mathrm{\angle }S{L}_{A}P\right|$ // Def. Lotgerade
(4) $\overline{SP{L}_B}\widetilde{=}\overline{SP{L}_A}$ // (1-3), SsW
(5) $\alpha \widetilde{=}\beta$ // (4), Dreieckskongruenz
qed
--Tchu Tcha Tcha 14:23, 13. Jul. 2012 (CEST)