Winkel und Winkelmessung: Unterschied zwischen den Versionen
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::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört, dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>. | ::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört, dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>. | ||
===== Satz V.1 ===== | ===== Satz V.1 ===== | ||
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des | ::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>. | ||
===== Beweis von Satz V.1 ===== | |||
Version vom 10. Juni 2010, 21:39 Uhr
Winkel und Winkelmessung
Begriff des Winkels
Identifizieren von Winkeln
Repräsentanten und Gegenrepräsentanten
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
| Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt |
| Punktmenge 1 | Punktmenge 2 | Punktmenge 3 | Punktmenge 4 |
| Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt |
| Punktmenge 5 | Punktmenge 6 | Punktmenge 7 | Punktmenge 8 |
Tabelle 1
| Winkelmodell | kein Winkelmodell |
|---|---|
| Tragen Sie die Nummern der entsprechenden obigen Punktmengen ein. Begründen Sie für jede Nummer Ihre Wahl. |
Tragen Sie die Nummern der entsprechenden obigen Punktmengen ein. Begründen Sie für jede Nummer Ihre Wahl. |
Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.
Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.
Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:
Realisieren von Winkeln
Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.
Konstruktion eines Winkels
Aufgabe: Zeichne einen Winkel
Lösung:
| Konstruktionsschritt | Beschreibung |
|---|---|
| Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Zeichne einen ... |
| Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Zeichne einen zweiten ..., der |
Definition des Winkelbegriffs
Definition V.1: (Winkel)
- Ein Winkel ist ein Paar .... .
- ... heißt der Scheitelpunkt von ...
- ... sind die Schenkel von ...
Arten, Winkel zu beschreiben
| Beispiel | Beschreibung | in Zeichen | Quelltext in Tex |
|---|---|---|---|
| Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Winkel, der aus den beiden Strahlen $ \ p $ und $ \ q $ besteht. | $ \angle pq $ | \angle pq |
| Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt | Winkel, der aus den beiden Strahlen $ \ SA^{+} $ und $ \ SB^{+} $ besteht. | $ \angle ASB $ | \angle ASB |
Die Idee des gerichteten Winkels
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.
Das Innere eines Winkels
So ist es zu verstehen
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Definition des Inneren eines Winkels
Definition V.2: (Inneres eines Winkels)
- Das Innere eines Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle ASB ist der Schnitt ...
Überstumpfe Winkel?
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.
Scheitelwinkel und Nebenwinkel
Scheitelwinkel
Beispiele und Gegenbeispiele
Definition
Definition V.3: (Scheitelwinkel)
- Die Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^+,SB^+ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^-,SB^- sind Nebenwinkel.
Nebenwinkel
Beispiele und Gegenbeispiele
Definition
Definition V.4: (Nebenwinkel)
- Die Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^+,SB^+ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^-,SB^+ sind Nebenwinkel.
Winkelmessung
Das Winkelmaß
Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?
| Länge einer Strecke | Größe eines Winkels |
| nichtnegative reelle Zahl | reelle Zahl zwischen 0 und 180 |
Das Winkelmaßaxiom
Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)
- Zu jedem Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha gibt es genau eine reelle Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \omega zwischen 0 und 180.
Definition V.4: (Größe eines Winkels)
- Die Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \omega
, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $ \ \alpha $ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha
genannt.
In Zeichen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = \left| \alpha \right| .
- Die Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \omega
, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $ \ \alpha $ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha
genannt.
Winkelkonstruktion
Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens
Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
- Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g \equiv SA eine Gerade in der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \Epsilon . Zu jedem Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha gibt es in jeder der beiden durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g bestimmten Halbebenen der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \Epsilon genau einen Strahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ SB^+ mit $ \ \left|\alpha \right|=\left|\angle ASB\right| $
Winkeladdition
Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
- Wenn der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P zum Inneren des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASB gehört, dann gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right| .
Satz V.1
- Wenn der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P im Inneren des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASB liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASP und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle PSB jeweils kleiner als die Größe des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASB .
