Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12

Beispiele für endliche Gruppen

Restklassen modulo 4

${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3}\}$
mit
$\bar{0}:=\{...,-8,-4,0,4,8,...\}$ (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
$\bar{1}:=\{...,-7,-3,1,5,9,...\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
$\bar{2}:=\{...,-6,-2,2,6,10,...\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
$\bar{3}:=\{...,-5,-1,3,7,11,...\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),

Wir definieren auf ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ eine Verknüpfung $\oplus$ wie folgt:
$\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{b}:=\overline{a+b}$

Die Struktur $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,\oplus )$ ist eine Gruppe:

1. Die Verknüpfung $\oplus$ ist auf der Menge ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ abgeschlossen, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$,
2. Die Verknüpfung $\oplus$ ist auf der Menge ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ assoziativ, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b},\bar{c}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:(\bar{a}\oplus \bar{b})\oplus \bar{c}=\bar{a}\oplus (\bar{b}\oplus \bar{c})$,
3. ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse $\bar{0}$, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus \bar{a}=\bar{a}$,
   
4. Zu jedem Element aus ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ gibt es ein inverses Element, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4\mathrm{\exists }(-\bar{a}):\bar{a}\oplus (-\bar{a})=(-\bar{a})\oplus \bar{a}=\bar{0}$