Vektorräume 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
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A2: Für beliebige <math>u,v.w \in V</math> gilt <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>. (Assoziativität der Addition) | A2: Für beliebige <math>u,v.w \in V</math> gilt <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>. (Assoziativität der Addition) | ||
A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u+ e = e+ u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor) | A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u+ e = e+ u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor) | ||
A4: Zu jeden <math>u\in V</math> existiert ein Gegenvektor <math>-u \in V</math> mit<math>u+(-u)=e. </math> | |||
S1: Für beliebige <math>v \in V</math> gilt <math>1\cdot u =u</math>. | S1: Für beliebige <math>v \in V</math> gilt <math>1\cdot u =u</math>. | ||
Version vom 10. Dezember 2012, 08:50 Uhr
Definition des Begriff des Vektorraums
Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung
$ +:V\times V\to V $, $ (v,v)\mapsto v+v $
und der äußeren Verknüpfung
$ {\cdot }:\mathbb {R} \times V\to V $, $ (\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v $
heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
A1: Für beliebige $ u,v\in V $ gilt $ u+v=v+u $ (Kommuntativität der Addition).
A2: Für beliebige $ u,v.w\in V $ gilt $ (u+v)+w=u+(v+w) $. (Assoziativität der Addition)
A3: Es gibt ein neutrales Element Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e\in V , mit dem für alle Elemente Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u\in V gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u+ e = e+ u = u . (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)
A4: Zu jeden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u\in V existiert ein Gegenvektor Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -u \in V mitFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u+(-u)=e.
S1: Für beliebige Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v \in V gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1\cdot u =u .
S2: Für beliebige Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v \in V und beliebige $ \lambda ,\mu \in \mathbb {R} $ gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u) (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)
S3: Für beliebige Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u,v \in V und beliebige Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda \in \mathbb{R} gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v (1.Distributivgesetz)
S4: Für beliebige Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v \in V und beliebige Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda, \mu \in \mathbb{R} gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u (2.Distributivgesetz)
Bemerkung:
Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (V, +) eine Abelsche Gruppe bildet.
Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.
(Quelle: Filler: Elementare Lineare Algebra. Spektrum Akademischer Verlag)
