Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12

Gruppeneigenschaften Eine Menge M ist bezüglich einer Verknüpfung $\odot$ bzw. einer Operation eine Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: 1. Abgeschlossenheit: die Menge M ist bezüglich der Verknüfung $\odot$ abgeschlossen: Verknüpft man ein Element der Menge mit einem anderen Element der Menge, erhält man wiederum ein Element der Menge $\mathrm{\forall }a,b\in M:a\odot b\in M$ 2. Assoziativität: die Menge M ist bezüglich der Verknüfung $\odot$ assoziativ $\mathrm{\forall }a,b,c\in M:(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)$ 3. Neutrales Element: Innerhalb der Menge M gibt es ein neutrales Element e $\mathrm{\forall }a\in M:e\odot a=a\odot e=a$ 4. Inverse Elemente: Für jedes Element von M gibt es ein Inverses Element $\mathrm{\forall }a\in M:a\odot a^{-1}=emit{a}^{-1}\in Munde=neutralesElement$ Erfüllt eine Menge M bezüglich einer Verknüfung $\odot$ hingegen nicht alle, aber mindestnes die Abgeschlossenheit und die Assoziativität, so handelt es sich um eine Halbgruppe. Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine kommutative bzw. abelsche Gruppe 5. Kommutativität: Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit $\odot$ Verknüpft werden ist egal $\mathrm{\forall }a,b\in M:a\odot b=b\odot a$ --Jessy* 11:38, 12. Dez. 2012 (CET) Beispiele für endliche Gruppen Restklassen modulo 4 ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3}\}$ mit $\bar{0}:=\{...,-8,-4,0,4,8,...\}$ (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen), $\bar{1}:=\{...,-7,-3,1,5,9,...\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen), $\bar{2}:=\{...,-6,-2,2,6,10,...\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen), $\bar{3}:=\{...,-5,-1,3,7,11,...\}$ (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen), Wir definieren auf ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ eine Verknüpfung $\oplus$ wie folgt: $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{b}:=\overline{a+b}$ Die Struktur $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,\oplus )$ ist eine Gruppe: Die Verknüpfung $\oplus$ ist auf der Menge ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ abgeschlossen, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$, Die Verknüpfung $\oplus$ ist auf der Menge ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ assoziativ, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b},\bar{c}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:(\bar{a}\oplus \bar{b})\oplus \bar{c}=\bar{a}\oplus (\bar{b}\oplus \bar{c})$, ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse $\bar{0}$, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus \bar{a}=\bar{a}$, Zu jedem Element aus ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ gibt es ein inverses Element, d.h. $\mathrm{\forall }\bar{a}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4\mathrm{\exists }(-\bar{a}):\bar{a}\oplus (-\bar{a})=(-\bar{a})\oplus \bar{a}=\bar{0}$. Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften: Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen. Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe $({\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,\oplus )$: Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung $\oplus$ auf ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_4$ kommutativ ist: $\mathrm{\forall }\bar{a},\bar{b}\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_4:\bar{a}\oplus \bar{b}=\bar{b}\oplus \bar{a}$. Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt. Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats Hierbei verstehen wir unter $D_Q$ die Menge aller Drehungen die das Quadrat $\overline{ABCD}$ auf sich selbst abbilden: $D_Q:=\{D_0,D_{90},D_{180},D_{270}\}$ Die Verknüpfung sei die NAF. Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel: Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Überprüfung der Gruppeneigenschaften: 1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle 2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ 3. Neutrales Element: $D_0$ 4. Inverse Elemente: $D_0\cdot D_0=D_0$ und $D_{90}\cdot D_{270}=D_0$ und $D_{180}\cdot D_{180}=D_0$ und $D_{270}\cdot D_{90}=D_0$ Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe. --Jessy* 16:26, 11. Dez. 2012 (CET) Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Unter $D_R$ wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck $\overline{ABCD}$ auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum $Z$) und Geradenspiegelungen: $D_R:=\{D_0,D_{180},S_m,S_n\}$ Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel: Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Überprüfung der Gruppeneigenschaften: 1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle 2. Assoziativität: Gegeben 3. Neutrales Element: $D_0$ 4. Inverse Elemente: $D_0\cdot D_0=D_0$ und $D_{180}\cdot D_{180}=D_0$ und $S_m\cdot S_m=D_0$ und $S_n\cdot S_n=D_0$ Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch Kleinsche Vierergruppe genannt. --Jessy* 10:17, 12. Dez. 2012 (CET)