Die abelsche Gruppe der Pfeilklassen 2012 13

Die Menge und die Verknüpfung

Wir fassen alle Pfeilklassen des Raumes bzw. der Ebene zu jeweils einer Menge zusammen. Als Verknüpfung wählen wir die Addition von Pfeilklassen. Mit ${\mathbb{\mathbb{P}}}_2$ wollen wir die Menge der Pfeilklassen der Ebene bezeichnen, mit ${\mathbb{\mathbb{P}}}_3$ die Menge der Pfeilklassen des Raumes.

Die Eigenschaften

Abgeschlossenheit

Die Addition zweier Pfeilklassen der Ebene bzw. des Raumes ist wiederum eine Pfeilklasse der Ebene bzw. des Raumes.
$\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_2:\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_2$
$\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_3:\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_3$

Assoziativität

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_2:(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
$\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_2:(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

Neutrales Element

$\mathrm{\exists }\overrightarrow{o}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_2:\mathrm{\forall }\overrightarrow{v}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_2:\overrightarrow{o}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{o}=\overrightarrow{v}$
$\mathrm{\exists }\overrightarrow{o}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_3:\mathrm{\forall }\overrightarrow{v}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_3:\overrightarrow{o}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{o}=\overrightarrow{v}$

Die Pfeilklasse des Raumes bzw. der Ebene, die den Nullpfeil enthält, leistet das Verlangte.

Inverse Elemente

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{u}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_2\mathrm{\exists }-\overrightarrow{u}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_2:\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=(-\overrightarrow{u})+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{o}$
$\mathrm{\forall }\overrightarrow{u}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_3\mathrm{\exists }-\overrightarrow{u}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_3:\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=(-\overrightarrow{u})+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{o}$

Das inverse Element zur Pfeilklasse mit dem Repräsentanten $\overrightarrow{AB}$ ist die Pfeilklasse mit dem Repräsentanten $\overrightarrow{BA}$.
(Sowohl im Raum als auch in der Ebene).

Fazit 1

$({\mathbb{\mathbb{P}}}_2,+)$ ist Gruppe,
$({\mathbb{\mathbb{P}}}_3,+)$ ist Gruppe,

Kommutativität

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_2:\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$
$\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in {\mathbb{\mathbb{P}}}_3:\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$

Fazit 2

$({\mathbb{\mathbb{P}}}_2,+)$ ist abelsche Gruppe,
$({\mathbb{\mathbb{P}}}_3,+)$ ist abelsche Gruppe.