Isomorphie von Gruppen 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
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=Definition= | |||
{{Definition|(Gruppenisomorphismus)<br />Es seien <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion <math>\varphi</math> von <math>G</math> auf <math>H</math> derart existiert, dass <br /><math>\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)</math> gilt, dann sind die beiden Gruppen <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> isomorph zueinander. Die Abbildung <math>\varphi</math> heißt Gruppenisomorphismus.}} | {{Definition|(Gruppenisomorphismus)<br />Es seien <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion <math>\varphi</math> von <math>G</math> auf <math>H</math> derart existiert, dass <br /><math>\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)</math> gilt, dann sind die beiden Gruppen <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> isomorph zueinander. Die Abbildung <math>\varphi</math> heißt Gruppenisomorphismus.}} | ||
=Beispiele= | |||
==Vierergruppen== | |||
ergänzen Sie selbst ... | |||
==Pfeilklassen der Ebene und <math>\mathbb{R}^2</math>== | |||
Wir legen der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem <math>K</math> mit dem Koordinatenursprung <math>O</math> zugrunde. Wir repräsentieren jetzt jede Pfeilklasse durch ihren Repräsentanten mit dem Anfangspunkt <math>0</math>. Jetzt definiren wir die folgende Abbildung <math>\varphi</math> von der Menge der Pfeilklassen auf <math>\mathbb{R}^2</math>:<br /> | |||
*<math>\varphi (\vec{OP}) := \begin{pmatrix} x_P \\ y_P \end{pmatrix}</math> mit <math>x_p, y_P</math> sind die Kordnaten von <math>P</math> bzgl. <math>K</math>. | |||
Behauptung: <math>\varphi</math> ist ein Gruppenisomorphismus von <math>\left(\mathbb{P}_2, +\right)</math> auf <math>\left(\mathbb{R}^2, \oplus\right)</math> | |||
==Pfeilklassen des Raumes und <math>\mathbb{R}^3</math>== | |||
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Version vom 12. Dezember 2012, 17:44 Uhr
DefinitionDefinition (Gruppenisomorphismus) BeispieleVierergruppenergänzen Sie selbst ... Pfeilklassen der Ebene und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{R}^2Wir legen der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): K
mit dem Koordinatenursprung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): O
zugrunde. Wir repräsentieren jetzt jede Pfeilklasse durch ihren Repräsentanten mit dem Anfangspunkt $ 0 $. Jetzt definiren wir die folgende Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi
von der Menge der Pfeilklassen auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{R}^2
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Behauptung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi ist ein Gruppenisomorphismus von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\mathbb{P}_2, +\right) auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\mathbb{R}^2, \oplus\right) Pfeilklassen des Raumes und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{R}^3 |
