Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $a\Vert |b\wedge b\Vert |c\Rightarrow a\Vert |c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\Vert |$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

a) Voraussetzung: $a\Vert |b\wedge b\Vert |c$
Behauptung: $a\Vert |c$
Annahme: $\mathrm{\neg }(a||b)$
1.) $a\cap c$ = {S} ______________ Annahme
2.) $S\in a;S\in c$______________ 1.)
3.) $a||b=>\mathrm{\neg }(c||b)$______________ 2.); Parallelenaxiom
Widerspruch zur Voraussetzung
b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--Unicycle 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)