Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 4

Abbildung 02 Abbildungs 03 Aufgabe a Es sei $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$, auf $k$ seien drei nichtkollineare Punkte $A,B,C$ gegeben. Voraussetzung 1: $M\in \overline{AB}$, Voraussetzung 2: $A,B,C\in k$, Behauptung $|\gamma |=|\mathrm{\angle }ACB|=90$° Für den folgenden Beweis beziehen wir uns auf Abb. 03. Hier wurde der Durchmesser $\overline{CD}$ eingezeichnet und zum Viereck $\overline{ACBD}$ ergänzt. Die Korrektheit dieser Konstruktion muss nicht begründet werden. Ergänzen Sie das folgende Beweisfragment: Lösung User ... Lösung User ... Nr. Beweisschritt Begründung (I) $\overline{MC}\widetilde{=}\overline{MA}\widetilde{=}\overline{MD}\widetilde{=}\overline{MB}$ ...Vor., Definition Abstand eines Punktes von k zu M (Radius eines Kreises) (II) $|{\gamma }_1|+|{\gamma }_2|+|{\delta }_1|+|{\delta }_2|=180$° ...Vor., Sehnenviereckskriterium (?) (III) ${\phi }_1\widetilde{=}{\phi }_2\wedge {\epsilon }_1\widetilde{=}{\epsilon }_2$ ... Vor., Def. Scheitelwinkel, (I), SWS (IV) $\overline{AMC}\widetilde{=}\overline{BMD}\wedge \overline{BMC}\widetilde{=}\overline{AMD}$ ... (III), Def. Dreieckskongruenz (V) ${\delta }_1\widetilde{=}{\gamma }_1\wedge {\delta }_2\widetilde{=}{\gamma }_2$ ... (IV), (II), Rechnen in R (VI) $|{\gamma }_1|+|{\gamma }_2|+|{\gamma }_1|+|{\gamma }_2|=180$° ... (V), Rechnen in R (VIII) $|{\gamma }_1|+|{\gamma }_2|=|\gamma |=90$° ... (VI), Rechnen in R Nr. Beweisschritt Begründung (I) $\overline{MC}\widetilde{=}\overline{MA}\widetilde{=}\overline{MD}\widetilde{=}\overline{MB}$ ... (II) $|{\gamma }_1|+|{\gamma }_2|+|{\delta }_1|+|{\delta }_2|=180$° ... (III) ${\phi }_1\widetilde{=}{\phi }_2\wedge {\epsilon }_1\widetilde{=}{\epsilon }_2$ ... (IV) $\overline{AMC}\widetilde{=}\overline{BMD}\wedge \overline{BMC}\widetilde{=}\overline{AMD}$ ... (V) ${\delta }_1\widetilde{=}{\gamma }_1\wedge {\delta }_2\widetilde{=}{\gamma }_2$ ... (VI) $|{\gamma }_1|+|{\gamma }_2|+|{\gamma }_1|+|{\gamma }_2|=180$° ... (VIII) $|{\gamma }_1|+|{\gamma }_2|=|\gamma |=90$° ... (VII) $2\cdot (|{\gamma }_1|+|{\gamma }_2|)=180$° ... Aufgabe b Formulieren Sie den unter a) bewiesenen Satz in allgemeinerer Form unter Verwendung der Begriffe Dreieck und Umkreis in der Form Wenn-Dann. Lösung User ... Lösung User ...