Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

Grundbegriffe (undefinierte Begriffe)

• Punkt
• Gerade
• Ebene

Begriffsklärungen

• disjunkt - elementfremd, nicht gleich
• identitiv - antisymmetrisch, gleich
  (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
• inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung
  (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
• kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
• komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
• reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
• symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen
  (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
• transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste
  Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch
  auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --TimoRR 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"

Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen.
Beispiel: Definition:(disjunkt)
Zwei Mengen $A$ und $B$ sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:

1. Nichtfolgerbarkeit einer Aussage $a$ aus einer Menge $A$ von Axiomen

Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage $a$ aus einer Menge $A$ von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von $a$ aus $A$ scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für $A$. In jedem Modell für $A$ müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus $A$ abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für $A$ finden, in dem $a$ nicht gilt ...

1. Modell für eine Menge von Axiomen

...

*m.g.* 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

Klasseneinteilung

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{T_1,T_2,T_3,...,T_n,...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$.

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$, wenn gilt:

1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$.

Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,M_2,M_3,...,M_{n}n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1\times M_2\times M_3...\times M_n$ ist eine $n-$stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $R$ in einer Menge $M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Axiome

• Inzidenzaxiome:

AXIOM I/0

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

AXIOM I/2

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

AXIOM I/3

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

• Abstandsaxiome:

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $A$ und $B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $d$ mit $d=0:⟺A=B$.

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $A$ und $B$ gilt $\left|AB\right|=\left|BA\right|$.

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $A,B$ und $C$ gilt: $\left|AB\right|+\left|BC\right|\ge \left|AC\right|.$

Falls $\mathrm{koll}\left(ABC\right)$, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$

$\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$

$\left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right|$

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $A$, $B$ und $C$ kollinear.

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $d$ gibt es auf jedem Strahl $p$ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $p$ den Abstand $d$ hat.

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $A$ und $B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $A$ und $B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d=\left|AB\right|$.

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $B$ liegt zwischen zwei Punkten $A$ und $C$, wenn $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ gilt und der Punkt $B$ sowohl von $A$ als auch von $C$ verschieden ist.

Schreibweise: $\mathrm{Zw}(A,B,C)$

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $A$ und $B$ sowie alle Punkte, die zwischen $A$ und $B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$. Stimmt das? --Sternchen 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $|AB|$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$. OK? --Sternchen 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Lösung_von_Aufgabe_6.5

Lösung_von_Aufgabe_6.6

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $A$ und $B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\mathrm{E}$ eine Ebene in der die Gerade $g$ liegen möge. Ferner sei $Q$ ein Punkt der Ebene $\mathrm{E}$, der nicht zur Geraden $g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $g{Q}^{+}$ und $g{Q}^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $g$ versteht man die folgenden Punktmengen:

$g{Q}^{+}:=\{P|\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }S\{S\}=g\cap \overline{PQ}\}$

$g{Q}^{-}:=\{P|\mathrm{\exists }S\{S\}=g\cap \overline{PQ}\}$

Definition IV.2: (Halbebene)

$g{Q}^{+}:=\{P|\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }S\{S\}=g\cap \overline{PQ}\}\cup \{g\}$

$g{Q}^{-}:=\{P|\mathrm{\exists }S\{S\}=g\cap \overline{PQ}\}$

Sätze

Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Satz II.1

Aus $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ folgt $\mathrm{Zw}(C,B,A)$.

Satz II.2:

Aus $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ folgt $\mathrm{koll}(A,B,C)$.

Satz II.3

Es sei $\mathrm{koll}(A,B,C)$ mit $A,B,C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ oder $\mathrm{Zw}(A,C,B)$ oder $\mathrm{Zw}(B,A,C)$.

Satz II.4

Es sei $O$ ein Punkt einer Geraden $g$.
Die Teilmengen $O{A}^{+}\setminus \left\{O\right\}$, $\left\{O\right\}$ und $O{A}^{-}\setminus \left\{O\right\}$ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $g$.

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.