Übungen 09: Unterschied zwischen den Versionen
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a) Prüfen Sie, ob die Vektoren <math>v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)</math> und <math>v_3 = (3,4,5)</math> ein Erzeugendensystem von<math> {\mathbb R}^3</math> bilden.<br /> | a) Prüfen Sie, ob die Vektoren <math>v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)</math> und <math>v_3 = (3,4,5)</math> ein Erzeugendensystem von<math> {\mathbb R}^3</math> bilden.<br /> | ||
b) Untersuchen Sie, für welche <math>t \in {\mathbb R}</math> die Vektoren <math>v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)</math> linear abhängig in <math>{\mathbb R}^3</math> sind. | b) Untersuchen Sie, für welche <math>t \in {\mathbb R}</math> die Vektoren <math>v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)</math> linear abhängig in <math>{\mathbb R}^3</math> sind. | ||
zu b) | |||
ich habe raus, dass für t=50/6 die Vektoren linear unabhängig sind, das heißt für t ungleich 50/6 sind sie linear abhängig. Stimmt das? | |||
==Aufgabe 3== | ==Aufgabe 3== | ||
Version vom 3. Juli 2013, 12:26 Uhr
Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass die Vektoren $ {\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\end{pmatrix}} $, $ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}2\\1\\2\\-1\end{pmatrix}} $, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{c}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{d}=\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 0\\3 \end{pmatrix} linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.
Aufgabe 2
a) Prüfen Sie, ob die Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_3 = (3,4,5)
ein Erzeugendensystem vonFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\mathbb R}^3
bilden.
b) Untersuchen Sie, für welche Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t \in {\mathbb R}
die Vektoren Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)
linear abhängig in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\mathbb R}^3
sind.
zu b)
ich habe raus, dass für t=50/6 die Vektoren linear unabhängig sind, das heißt für t ungleich 50/6 sind sie linear abhängig. Stimmt das?
Aufgabe 3
Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
$ X=\{{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\-2\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-1\end{pmatrix}};{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}\}. $
Gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): <X>=\mathbb{R}^4
?
Aufgabe 4
Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}
b)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}
Aufgabe 5
Sei V ein reeler Vektorraum und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a,b,c,d, e \in V
. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_1=a+b+c
, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_2=2a+2b+2c-d
, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_3=a-b-e
, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_4=5a+6b-c+d+e
, $ v_{5}=a-c+3e $, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_6=a+b+d+e
Aufgabe 6
Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X=\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\-2 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\\0 \end{pmatrix}\}.
Gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): <X>=\mathbb{R}^4
?
Aufgabe 7
Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}
b)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}
