Lösung von Aufgabe 11.09 SoSe 13

Gegeben seien der Winkel $\alpha =\mathrm{\angle }ASB$, die Winkelhalbierende w von $\alpha$ und der Punkt P mit $\overline{PA}\widetilde{=}\overline{PB}$

z.z.: P $\in$ w

Beweis:

1) $\overline{PA}\widetilde{=}\overline{PB}$ ; (>Voraussetzung)

2) $\overline{PS}\widetilde{=}\overline{PS}$ ; (>trivial)

3) Sei m die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ und M der Mittelpunkt von $\overline{AB}$ ; (>Existenz der Mittelsenkrechten)

4) $P\in m$ ; (>Def. Mittelsenkrechte, (1))

5) $\mathrm{\angle }PBM\widetilde{=}\mathrm{\angle }PAM$ ; (>(1),Basiswinkelsatz)

6) $\overline{AM}\widetilde{=}\overline{MB}$ ; (>(3))

7) $\overline{MPB}\widetilde{=}\overline{MPA}$ ; (>(1),(5),(6),sws)

8) $\mathrm{\angle }APM\widetilde{=}\mathrm{\angle }BPM$; (>(7))

9) $\overline{SBP}\widetilde{=}\overline{SAP}$ ; (>(1),(8),(2),sws)

10) $\mathrm{\angle }ASP\widetilde{=}\mathrm{\angle }BSP$; (>(9))

11) $S{P}^{+}$ ist die Winkelhalbierende w; (>(10), Def. und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

12) $P\in w$; (>(11))

Muss ich hier explizit sagen, dass P im Inneren vom Winkel liegt? Darf ich das voraussetzen oder muss ich eine Fallunterscheidung machen?

--Illu13 23:02, 10. Jul. 2013 (CEST)