Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe 13)

1. Gegeben sei ein Winkel $\mathrm{\angle }ABC$ und ein Punkt P im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\mathrm{\angle }ABC$ liegt. Konstruieren Sie eine Strecke $\overline{DE}$ deren Endpunkte D und E jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels $\mathrm{\angle }ABC$ liegen und P Mittelpunkt der Strecke $\overline{DE}$ ist.
2. Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.
   

1) Konstruktion

Zeichne einen Strahl BA⁺. Zeichne einen weiteren, von BA⁺ verschiedenen Strahl, BC⁺ mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie BA⁺. Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius r = |B͞D| = |B͞E|, r > 0. Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: {M} = p ∩ l ≠ B. Zeichne nun den Strahl BM⁺. Zeichne die Strecke D͞E ein. Zeichne nun den Punkt P ein mit der folgenden Bedingung: {P} = D͞E ∩ BM⁺.--Nolessonlearned 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST)

2) Beweis

Voraussetzung:
D͞E ≔ {D} = BC⁺ ∩ k ∧ {E} = BA⁺ ∩ k
mit k ≔ {P | |PB| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}

{M} = p ∩ l ≠ B
mit p,l ≔ {P | |PD| = |PE| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}

{P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E
--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
P ist Mittelpunkt von D͞E
--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)

	Beweisschritt	Begründung
1)	{P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E	Voraussetzung, Konstruktion Mittelsenkrechte
2)	BD| = |BE|	Voraussetzung; Mittelsenkrechtenkriterium
3)	DP| = |PE|	(1); (2); Def. Mittelsenkrechte
4)	P ist Mittelpunkt von D͞E	(1); (3); Def. Mittelsenkrechte

--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)