Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen
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Beweisen Sie: Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>. | Beweisen Sie: Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.<br /><br /> | ||
Voraussetzung: koll(A,B,C) mit A,B,C paarweise verschieden<br /><br /> | |||
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(B,A,C), oder Zw(A,C,B)<br /><br /> | |||
1) ∃g: A,B,C ∈ g<br /> | |||
Begründung: Voraussetzung, Def. kollinear<br /><br /> | |||
2) Strecke AC mit |AB| + |BC| = |AC| ∈ g<br /> | |||
oder Strecke BC mit |BA| + |AC| = |BC| ∈ g<br /> | |||
oder Strecke AB mit |AC| + |CB| = |AB| ∈ g<br /> | |||
Begründung: (1); Def. Zwischen, Eigenschaft Gerade<br /><br /> | |||
3) |AB| + |BC| = |AC| ≔ Zw(A,B,C)<br /> | |||
|BA| + |AC| = |BC| ≔ Zw(B,A,C)<br /> | |||
|AC| + |CB| = |AB| ≔ Zw(A,C,B)<br /> | |||
Begründung: (1); (2); q.e.d.<br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 18. Jul. 2013 (CEST) | |||
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Version vom 18. Juli 2013, 19:16 Uhr
Beweisen Sie: Es sei mit sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: oder oder .
Voraussetzung: koll(A,B,C) mit A,B,C paarweise verschieden
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(B,A,C), oder Zw(A,C,B)
1) ∃g: A,B,C ∈ g
Begründung: Voraussetzung, Def. kollinear
2) Strecke AC mit |AB| + |BC| = |AC| ∈ g
oder Strecke BC mit |BA| + |AC| = |BC| ∈ g
oder Strecke AB mit |AC| + |CB| = |AB| ∈ g
Begründung: (1); Def. Zwischen, Eigenschaft Gerade
3) |AB| + |BC| = |AC| ≔ Zw(A,B,C)
|BA| + |AC| = |BC| ≔ Zw(B,A,C)
|AC| + |CB| = |AB| ≔ Zw(A,C,B)
Begründung: (1); (2); q.e.d.
--Nolessonlearned 21:16, 18. Jul. 2013 (CEST)
