Lösung von Zusatzaufgabe 2.5P (WS 13 14)

Welche Definition für Kreis ist richtig? Warum (nicht)?

• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn gilt: $\left|MP\right|$ ist konstant, so ist $P$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M$.
• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Punktmenge. Wenn gilt: $X\in P:\left|XM\right|=r$, dann ist $P$ ein Kreis.
• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Punktmenge. Wenn $P$ alle Punkte $X$ enthält für die gilt∶ $\left|XM\right|=r,r\in {\mathbb{ℝ}}^{+}$ und $X\in E$, dann ist $P$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$.
• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Punktmenge. Wenn $P$ genau alle Punkte $X$ enthält für die gilt∶ $\left|XM\right|=r,r\in {\mathbb{ℝ}}^{+}$ und $X\in E$, dann ist $P$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$.
• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn für alle $X\in P$ gilt∶ $\left|XM\right|=r,r\in {\mathbb{ℝ}}^{+}$, dann ist $P$ ein Kreis.
• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Alle Elemente von $P$ liegen in ein und derselben Ebene wie $M$. Wenn gilt: $\left|MP\right|$ ist konstant, so ist $P$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M$.

Def. 1 ist ungenügend, weil die Eingrenzung auf die Ebene fehlt.
Def. 2 ist Def. 1 in Symbolen.
Def. 3 ist ungenügend, da Punkte, die nicht den Kreis bilden nicht ausgeschlossen sind.
Def. 4 ist richtig, da die Problematik aus Def. 3 mithilfe des "genau alle Punkte" beseitigt wurde.
Def. 5 ist ungenügend, da die Punktmenge P nicht alle Punkte des Kreises enthalten muss.
Def. 6 ist fehlerhaft, da man keinen Abstand zwischen einem Punkt und einer Punktmenge setzen kann.
--Knöbelspieß 11:03, 9. Nov. 2013 (CET)