Der Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übung 11 Aufgabe 1

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten $a$ und $b$ kongruent zueinander:

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt $M$ der Dreiecksseite $c$.

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke $\overline{AMC}$ und $\overline{BMC}$ kongruent zueinander sind:

Nachweis von $\overline{AMC}\cong \overline{BMC}$:

Nr.	Skizze	Beweisschritt	Begründung
(1)		$a\cong b$	Voraussetzung
(2)		$\overline{AM}\cong \overline{MB}$	$M$ ist Mittelpunkt von $c$
(3)		$\overline{MC}\cong \overline{MC}$	trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
(4)		$\overline{AMC}\cong \overline{BMC}$	(1), (2), (3), SSS

Wegen (4) gilt nun auch $\alpha \cong \beta$.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes

Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.

Lemma 1

Die Winkelhalbierende $S{W}^{+}$ eines Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ schneidet die Strecke $\overline{AB}$ in genau einem Punkt $S$.