Serie 03: Unterschied zwischen den Versionen
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Es sei <math>X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}</math>. Wir definieren auf <math>X</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)</math>. Jedes Element des <math>\mathbb{R}^2</math> fassen wir als Punkt auf. Hat <math>\varphi</math> Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft) | Es sei <math>X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}</math>. Wir definieren auf <math>X</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)</math>. Jedes Element des <math>\mathbb{R}^2</math> fassen wir als Punkt auf. Hat <math>\varphi</math> Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft) | ||
==Aufgabe 3.3== | ==Aufgabe 3.3== | ||
Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms <math>B</math> mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel <math>P </math>hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten <math>\left(x_p, y_p\right)</math>. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms <math>B</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)</math>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>\varphi</math> einen Fixpunkt hat? | Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms <math>B</math> mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel <math>P </math>hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten <math>\left(x_p, y_p\right)</math>. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms <math>B</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)</math><sup>1</sup>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>\varphi</math> einen Fixpunkt hat? | ||
<sup>1</sup> müsste das nicht φ(P)=(zufallsbereich(0;1919),zufallsbereich(0;1079)) heißen, weil es nur 1920x1080 Pixel gibt (mit allen rechnerischen Konsequenzen)? [[Benutzer:Wexstabenverbuxler|Dr.plag.Schavan]] ([[Benutzer Diskussion:Wexstabenverbuxler|Diskussion]]) 13:02, 1. Aug. 2014 (CEST) | |||
==Aufgabe 3.4== | ==Aufgabe 3.4== | ||
Aktuelle Version vom 1. August 2014, 11:02 Uhr
Aufgabe 3.1
(alles in ein und derselben Ebene) Es sei $ k $ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $ M $ und dem Radius $ r $. Ferner sei $ g $ eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei $ Z $ der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in $ M $ auf $ g $ mit $ k $. Wir definieren eine Abbildung $ \varphi $ von $ k\setminus _{Z} $ auf $ g $: $ \forall P\in k\setminus _{Z}:\varphi (P)=ZP\cap g $. Ist $ \varphi $ fixpunktfrei?
Aufgabe 3.2
Es sei $ X=\left\{(x,0)|x\in \mathbb {R} \right\} $. Wir definieren auf $ X $ die folgende Abbildung $ \varphi $: $ \forall (x,0)\in X:\varphi ((x,0))=(x,\sin ^{2}x) $. Jedes Element des $ \mathbb {R} ^{2} $ fassen wir als Punkt auf. Hat $ \varphi $ Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)
Aufgabe 3.3
Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms $ B $ mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel $ P $hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten $ \left(x_{p},y_{p}\right) $. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms $ B $ die folgende Abbildung $ \varphi $: $ \forall P\in B:\varphi (P)=\left(\operatorname {z} ufallsbereich(0;1920),\operatorname {z} ufallsbereich(0;1080)\right) $1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $ \varphi $ einen Fixpunkt hat?
1 müsste das nicht φ(P)=(zufallsbereich(0;1919),zufallsbereich(0;1079)) heißen, weil es nur 1920x1080 Pixel gibt (mit allen rechnerischen Konsequenzen)? Dr.plag.Schavan (Diskussion) 13:02, 1. Aug. 2014 (CEST)
Aufgabe 3.4
Beweisen Sie: wenn eine Bewegung $ \varphi $ zwei verschiedene Fixpunkte $ A $ und $ B $ hat, dann hat ist die Gerade $ AB $ eine Fixpunktgerade bezüglich $ \varphi $.
Aufgabe 3.5
Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte $ A,B,C $ Fixpunkte der Bewegung $ \varphi $ sind, so ist $ \varphi $ die identische Abbildung.
