Lösung von Aufgabe 1.1 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.<br />
Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.<br />


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Kurz gesagt <math>A = B</math>.
==Beweis==
Zu beweisen ist, dass gilt: <math>x \text{ ist gerade} \iff x^2 \text{ ist gerade}</math>
===Teil 1===
Gezeigt wird <math>x \text{ ist gerade} \Rightarrow x^2 \text{ ist gerade}</math>.
Zunächst nehmen wir an, dass <math>x = 2 \cdot n \text{für} n \in \mathbb{N}</math>.
Das heißt, dass <math>x^2 = (2n)\cdot(2n) = 2\cdot(2n^2)</math> gilt. Und da <math>2n^2 \in \mathbb{N}</math>, ist <math>x^2</math> ein ganzzahliges Vielfaches von <math>2</math> oder anders ausgedrückt gerade.
===Teil 2===
Gezeigt wird <math>x \text{ ist gerade} \Leftarrow x^2 \text{ ist gerade}</math>.
Sei nun <math>x^2 = 2 \cdot n</math> für <math>x, n \in \mathbb{N}</math>.
Damit gilt: <math>\frac{x \cdot x}{2} = n \iff x \cdot \frac{x}{2} = n</math>.
Da sowohl <math>x</math> als auch <math>n</math> natürliche Zahlen sind, kann die Gleichung nur wahr sein, wenn <math>\frac{x}{2}</math> auch eine natürliche Zahl ist. <math>\frac{x}{2}</math> wiederum kann nur eine natürliche Zahl sein, wenn <math>x</math> gerade ist.
q.e.d.
</popup>--[[Benutzer:AlanTu|AlanTu]] ([[Benutzer Diskussion:AlanTu|Diskussion]]) 22:55, 20. Okt. 2016 (CEST)




[[Kategorie:Geo_P]]
[[Kategorie:Geo_P]]
[[Kategorie:Lösung zu Übung 1 (Wintersemester 2016/2017)]]

Version vom 20. Oktober 2016, 20:55 Uhr

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.

<popup> Kurz gesagt A=B.

Beweis

Zu beweisen ist, dass gilt: x ist gerade⟺x2 ist gerade

Teil 1

Gezeigt wird x ist gerade⇒x2 ist gerade.

Zunächst nehmen wir an, dass x=2⋅nfürn∈ℕ.

Das heißt, dass x2=(2n)⋅(2n)=2⋅(2n2) gilt. Und da 2n2∈ℕ, ist x2 ein ganzzahliges Vielfaches von 2 oder anders ausgedrückt gerade.

Teil 2

Gezeigt wird x ist gerade⇐x2 ist gerade.

Sei nun x2=2⋅n für x,n∈ℕ.

Damit gilt: x⋅x2=n⟺x⋅x2=n.

Da sowohl x als auch n natürliche Zahlen sind, kann die Gleichung nur wahr sein, wenn x2 auch eine natürliche Zahl ist. x2 wiederum kann nur eine natürliche Zahl sein, wenn x gerade ist.

q.e.d. </popup>--AlanTu (Diskussion) 22:55, 20. Okt. 2016 (CEST)

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