Lösung von Aufgabe 1.1 (WS 16 17)

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.

<popup> Kurz gesagt $A=B$.

Beweis

Zu beweisen ist, dass gilt: $x\text{ ist gerade}⟺x^2\text{ ist gerade}$

Teil 1

Gezeigt wird $x\text{ ist gerade}\Rightarrow x^2\text{ ist gerade}$.

Zunächst nehmen wir an, dass $x=2\cdot n\text{für}n\in \mathbb{\mathbb{N}}$.

Das heißt, dass $x^2=(2n)\cdot (2n)=2\cdot (2n^2)$ gilt. Und da $2n^2\in \mathbb{\mathbb{N}}$, ist $x^2$ ein ganzzahliges Vielfaches von $2$ oder anders ausgedrückt gerade.

Teil 2

Gezeigt wird $x\text{ ist gerade}\Leftarrow x^2\text{ ist gerade}$.

Sei nun $x^2=2\cdot n$ für $x,n\in \mathbb{\mathbb{N}}$.

Damit gilt: $\frac{x\cdot x}{2}=n⟺x\cdot \frac{x}{2}=n$.

Da sowohl $x$ als auch $n$ natürliche Zahlen sind, kann die Gleichung nur wahr sein, wenn $\frac{x}{2}$ auch eine natürliche Zahl ist. $\frac{x}{2}$ wiederum kann nur eine natürliche Zahl sein, wenn $x$ gerade ist.

q.e.d. </popup>--AlanTu (Diskussion) 22:55, 20. Okt. 2016 (CEST)

Hallo AlanTu, 

du solltest lediglich die beiden Mengen bezüglich ihrer Elemente vergleichen,
aber wenn du uns schon den Beweis lieferst ist das umso erfreulicher ;) Prima! 

Gruß Alex --Tutor: Alex (Diskussion) 19:37, 27. Okt. 2016 (CEST)