Elementare Funktionen

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Abwurfhöhe	$ ~~~h_{0} $
Abwurfgeschwindigkeit (Betrag)	$ ~~~v_{0} $
Abwurfwinkel	$ ~~~\alpha $

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
$ v_{x}=v_{0}\cdot \cos \alpha \Rightarrow x=v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t $

y-Komponente

Es addieren sich:

1. y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: $ v_{y}=v_{0}\cdot \sin \alpha \Rightarrow y_{w}=v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t $
2. Fallbewegung nach unten: $ y_{f}={\frac {g}{2}}t^{2} $
3. Damit $ y=v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2} $
4. Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}

Experimentierumgebung

Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site.

Experimentieraufgaben

Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h_0 bei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x=18m auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?

Umstrukturierung

Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix} eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y=ax^2+bx+c . Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

Der Funktionsbegriff

Kreuzprodukt zweier Mengen

Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M \times N := \{(a,b)|a \in M, b \in N\}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y=x^2

Funktionen als spezielle Relationen

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

Linkstotal

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R

Rechtseindeutig

$ \forall a\in A:\forall b_{1},b_{2}\in B:(a,b_{1})\in R\wedge (a,b_{2})\in R\Rightarrow b_{1}=b_{2} $

Lineare Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site.

• Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
• Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x_1, f(x_1)) und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x_2, f(x_2)) wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.

mehr folgt in Kürze, ich muss erst herausfinden, wie ich die ganzen Herleitungen darstellen kann mit Wiki. Frage: Wie schreibt man Brüche?! Bei mir wird mit "\frac" immer eine Fehlermeldung angezeigt.

Nach \frac braucht man zwei paar geschweifter Klammern (je eins für Zähler und Nenner), dann müsste es funktionieren: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2 + \sqrt{x+\log_2{y}}} + \sum_{i=1}^{n}{i}

---

Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site.