Implikationen SoSe 2017

Mathematische Aussagen Beispiele Primzahlen Es lassen sich z.B. die folgenden Aussagen zu Primzahlen machen: Aussage Wahrheitswert Die Zahl $ 3 $ ist eine Primzahl. wahr Die Zahl $ 4 $ ist eine Primzahl. falsch Es gibt unendlich viele Primzahlen. wahr Es gibt genauso viele Primzahlen wie es natürliche Zahlen gibt. wahr. Keine Aussage zu Primzahlen ist: Jede natürlich Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl. Wichtige Sätze der Schulgeometrie Sätze sind Aussagen, die wahr sind. Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann demzufolge auch kein Satz sein. Innenwinkelsatz für Dreiecke: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist gleich der Größe eines gestreckten Winkels. Satz des Pythagoras: In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Starker Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks. Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander. Ergänzen Sie durch eigene Sätze, die Sie noch aus der Schule kennen: ..... ..... ..... Begriff der Aussage Ein sauber Definition des Begriffs mathematische Aussage bleibt uns hier versagt, es reichen intuitive Vorstellungen der folgenden Art: Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen. (Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig)(1983). Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus: Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0). Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein. Beide Prinzipien zusammengefasst: Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch. Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen Ergänzen Sie die folgende Tabelle: keine Aussage Aussage Gründonnerstag Gründonnerstag regnet es immer. Ab jetzt heißt Raider Twix. Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in $ \mathbb {R} $ nicht definiert. Konstruiere einen Kreis. ihr Beispiel ihr Beispiel ihr Beispiel Die Negation einer Aussage Beispiele Aussage Negation der Aussage $ 2 $ ist Primzahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2 ist keine Primzahl Die Eisernen steigen auf. Die Eisernen steigen nicht auf. Die Hose ist grün. Die Hose ist nicht grün. ihr Beispiel ihr Beispiel ihr Beispiel ihr Beispiel Wahrheitswerttabelle Wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p eine Aussage ist, dann ist es üblich, mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \neg p die Negation von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p zu kennzeichnen. 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Verknüpfung zweier Aussagen Das logische und Die Idee Zwei Aussagen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b lassen sich durch ein logisches und zu einer Aussage zusammenfassen. Beispiel Teilbarkeit von Summen Wenn $ t|a $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t|b , dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t|(a+b) . Voraussetzung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 : Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t|a Voraussetzung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2 : Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t|b Zusammenfassung zu einer Voraussetzung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t|a \land t|b . Wahrheitswertabelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a \land b wahr wahr wahr wahr falsch falsch falsch wahr falsch falsch falsch falsch Die Verknüpfung zweier Aussagen durch ein logisches und ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Das logische oder Die Idee Zwei Aussagen lassen sich durch ein logisches oder zu einer Aussage zusammenfassen. Wahrheitswerttabelle $ a $ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a \lor b wahr wahr wahr wahr falsch wahr falsch wahr wahr falsch falsch falsch Die Verknüpfung zweier Aussagen ist genau dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind. Hinweis: Das logische oder entspricht nicht dem allgemeinen Sprachgebrauch in der Umgangsprache. Umgangssprachlich ist das oder ein entweder oder (exklusives oder). Wahrheitswerttabelle entweder oder exklusives oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a \dot\lor b wahr wahr falsch wahr falsch wahr falsch wahr wahr falsch falsch falsch