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| =Mathematische Aussagen= | | =Implikationen= |
| ==Beispiele== | | ==Beispiele== |
| ===Primzahlen=== | | ===Teilbarkeit durch 3=== |
| Es lassen sich z.B. die folgenden Aussagen zu Primzahlen machen:
| | :Wenn die Quersumme <math>\overline{a}</math>einer natürlichen Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar ist, dann ist auch die Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar.<br /> |
| {| class="wikitable"
| | :In Formelsprache: <math>\forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a</math> |
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| ! Aussage!! Wahrheitswert
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| | Die Zahl <math>3</math> ist eine Primzahl.|| wahr
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| |-
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| | Die Zahl <math>4</math> ist eine Primzahl.|| falsch
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| |-
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| | Es gibt unendlich viele Primzahlen.|| wahr
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| | Es gibt genauso viele Primzahlen wie es natürliche Zahlen gibt.|| wahr.
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| |}
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| Keine Aussage zu Primzahlen ist:<br />
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| : Jede natürlich Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl.
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| ===Wichtige Sätze der Schulgeometrie===
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| Sätze sind Aussagen, die wahr sind. Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann demzufolge auch kein Satz sein.
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| *Innenwinkelsatz für Dreiecke: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist gleich der Größe eines gestreckten Winkels.
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| *Satz des Pythagoras: In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
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| *Starker Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks.
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| *Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
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| Ergänzen Sie durch eigene Sätze, die Sie noch aus der Schule kennen:
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| * .....
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| * .....
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| * .....
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| ==Begriff der Aussage==
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| Ein sauber Definition des Begriffs mathematische Aussage bleibt uns hier versagt, es reichen intuitive Vorstellungen der folgenden Art:
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| *Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen. (Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig)(1983).
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| Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus:
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| *Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0).
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| *Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
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| Beide Prinzipien zusammengefasst:
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| *Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch.
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| ==Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen==
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| Ergänzen Sie die folgende Tabelle:
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| {| class="wikitable"
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| ! keine Aussage!! Aussage
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| | Gründonnerstag|| Gründonnerstag regnet es immer.
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| | Ab jetzt heißt Raider Twix.|| Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.
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| | Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.|| Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in <math>\mathbb{R}</math> nicht definiert.
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| | Konstruiere einen Kreis.|| ihr Beispiel
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| | ihr Beispiel || ihr Beispiel
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| |}
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| ==Die Negation einer Aussage==
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| ===Beispiele===
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| {| class="wikitable"
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| ! Aussage !! Negation der Aussage
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| | <math>2</math> ist Primzahl|| <math>2</math> ist keine Primzahl
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| | Die Eisernen steigen auf.|| Die Eisernen steigen nicht auf.
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| |-
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| | Die Hose ist grün.|| Die Hose ist nicht grün.
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| |-
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| | Bier schmeckt gut. || Bier schmeckt nicht gut.
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| | ihr Beispiel || ihr Beispiel
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| |}
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| ===Wahrheitswerttabelle===
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| Wenn <math>p</math> eine Aussage ist, dann ist es üblich, mit <math>\neg p</math> die Negation von <math>p</math> zu kennzeichnen.
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| {| class="wikitable"
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| ! <math>p</math> !! <math>\neg p</math>
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| |-
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| | wahr || falsch
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| |-
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| | falsch|| wahr
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| |}
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| Hinweis: Die LaTex-Syntax für das Zeichen <math>\neg</math> ist \neg.
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| ==Verknüpfung zweier Aussagen==
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| ===Das logische und===
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| ==== Die Idee====
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| Zwei Aussagen <math>a</math> und <math>b</math> lassen sich durch ein logisches und zu einer Aussage zusammenfassen.
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| ==== Beispiel Teilbarkeit von Summen====
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| Wenn <math>t|a</math> und <math>t|b</math>, dann <math>t|(a+b)</math>.<br />
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| Voraussetzung <math>1</math>: <math>t|a</math><br />
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| Voraussetzung <math>2</math>: <math>t|b</math><br />
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| Zusammenfassung zu einer Voraussetzung: <math>t|a \land t|b</math>.
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| ====Wahrheitswertabelle====
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| {| class="wikitable" | |
| |-
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| ! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \land b</math>
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| |-
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| | wahr || wahr || wahr
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| |-
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| | wahr || falsch|| falsch
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| |-
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| | falsch || wahr|| falsch
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| |-
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| | falsch || falsch || falsch
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| |}
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| Die Verknüpfung zweier Aussagen durch ein logisches und ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
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| ==Das logische oder==
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| ===Die Idee===
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| Zwei Aussagen lassen sich durch ein logisches oder zu einer Aussage zusammenfassen.
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| ===Wahrheitswerttabelle===
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| {| class="wikitable" | |
| |-
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| ! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \lor b</math>
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| |-
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| | wahr || wahr || wahr
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| |-
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| | wahr || falsch|| wahr
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| |-
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| | falsch || wahr || wahr
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| |-
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| | falsch || falsch || falsch
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| |}
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| Die Verknüpfung zweier Aussagen ist genau dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.<br />
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| Hinweis: Das logische oder entspricht nicht dem allgemeinen Sprachgebrauch in der Umgangsprache. Umgangssprachlich ist das oder ein entweder oder (exklusives oder).
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| ===Wahrheitswerttabelle entweder oder===
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| exklusives oder
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| {| class="wikitable"
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| ! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \dot\lor b</math>
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| |-
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| | wahr || wahr || falsch
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| | wahr || falsch|| wahr
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| |-
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| | falsch || wahr || wahr
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| |-
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| | falsch || falsch || falsch
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| |}
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