Lösung von Aufgabe 12.1

Der schwache Außenwinkelsatz

Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum?
Der schwache Außenwinkelsatz


Das offene Innere von ${\beta }^{\text{'}}$ ist der Schnitt zweier offener Halbebenen $AB,C^{-}\cap CB,A^{+}$.

Der Punkt $P$ würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels ${\beta }^{\text{'}}$ liegen,wenn er

1. in Halbenbene $AC,B^{+}$
   oder
   
2. in der Halbebene $CB,A^{-}$
   liegen würde.

zu 1.
Als Punkt der Halberaden $M{C}^{-}$ (Konstruktion von $P$) kann $P$ nicht mit $C$ auf ein und derselben Seite bezüglich $AB$ liegen.

zu 2.
2.a
Annahme: $P\in CB$ In diesem Fall würde gelten: $CP\equiv CB$. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade $CP\equiv CB$ mit $g$ zu bezeichnen.
Die Gerade $CP$ hat mit der Geraden $AB$ genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt $M$.
Die Gerade $CB$ hat mit der Geraden $AB$ genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt $B$.
Da die beiden Geraden $CB$ und $CP$ identisch sind und die nichtidentischen Geraden $g$ und $AB$ maximal einen Punkt gemeinsam haben können,
müssen die beiden Punkte $M$ und $B$ identisch sein.
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von $M$.$M$ ist nämlich der Mittelpunkt von $\overline{AB}$.