Lösung Aufgabe 5.01 SoSe 2017

Aufgabe 5.01 SoSe 2017 Wir betrachten das folgende Modell $\mathbb{𝕄}:=(\mathbb{\mathbb{P}},\mathbb{𝔾},\mathrm{inz})$ für die Inzidenzgeometrie: Modellpunkte $\mathbb{\mathbb{P}}$: $\mathbb{\mathbb{P}}:=\{A,B,C,D\}$ Modellgeraden $\mathbb{𝔾}$: $\mathbb{𝔾}=\{\{A,B\},\{A,C\},\{A,D\},\{B,C\},\{B,D\}\}$ Inzidenz $\mathrm{inz}$: Elementbeziehung: Ein Punkt $P$ inzidiert mit einer Geraden $g$ , wenn er zu $g$ gehört: $P\mathrm{inz}g:\iff P\in g$ Warum ist $\mathbb{𝕄}$ kein Modell für die ebene Inzidenzgeometrie? Ergänzen Sie $\mathbb{𝕄}$ derart, dass alle Axiome der ebenen Inzidenz erfüllt sind. Lösung 1 Das Modell M erfüllt 2 Axiome nicht und muss somit um diese zwei erweitert werden 1. Axiom 1.3 Es gibt wenigstens 3 verschiedene Punkte, da ohne diese Ergänzung A,B,C,D identisch sein könnten und somit keine Gerade bilden. P:(A,B,C,D, (logisches und) A,B,C,(D) sind paarweise verschieden) 2. Axiom 1.2(kollinear) weiterhin muss in P erwähnt werden das mindestens 3 punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. P:(A,B,C,D, (logisches und) A,B,C,D sind paarweise verschieden ( logisches und) nkoll(A,B,C)) Lösung 2 Lösung 3