Strecken, Pfeile und Pfeilklassen SoSe 2017

Strecken Definition Definition: (Strecke $\overline{AB}$) Es seien $A$ und $B$ zwei beliebige Punkte. Unter der Strecke $\overline{AB}$ versteht man die folgende Punktmenge: $\overline{AB}:=\{P|\mathrm{Zw}(A,P,C)\}\cup \{A,B\}$. Bemerkung Im Gegensatz zur Definition des Begriffs Strecke in der Einführung in die Geometrie lassen wir hier zu, dass die Punkte $A$ und $B$ identisch sind. Der Grund hierfür liegt in der Notwendigkeit der Existenz des Nullvektors im Vektorraum der Pfeilklassen. gerichtete Strecken bzw Pfeile Definition: (gerichtete Strecke $\overrightarrow{AB}$) Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke. Wir fassen die Endpunkte zu einem geordneten Paar zusammen $(A,B)$ und nennen $A$ Anfangspunkt und $B$ Endpunkt. Die gerichtete Strecke $\overrightarrow{AB}$ bzw.der Pfeil $\overrightarrow{AB}$ ist eine Strecke mit einem Anfangs und einem Endpunkt. Pfeilklassen Definition: (Pfeilgleichheit) Zwei Pfeile $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ stehen in der Relation pfeilgleich zueinander, wenn $\overline{A,C,D,B}$ ein Parallelogramm ist. In Zeichen: $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}$ Satz: (Pfeilgleichheit ist ÄR) Die Relation Pfeilgleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile. Beweis: Übungsaufgabe