Isomorphie und Homomorphie von Gruppen SoSe 2017

Isomorphie von Gruppen Beispiele Deckdrehungen des Quadrates und $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,\oplus ]$ Wir betrachten die folgenden beiden Gruppen: $[D_4,\odot ]$ mit $D_4=\{id,D_{90},D_{180},D_{270}\}$ und $\odot$ ist die NAF von Abbildungen. $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,\oplus ]$ Die beiden Gruppentafeln sehen wie folgt aus: Tafel 1 $\odot$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $D_{90}$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $D_{180}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $D_{90}$ $D_{270}$ $D_{270}$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ Tafel 2 $\oplus$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{1}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{3}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ Beide Gruppentafeln weisen vom Prinzip her dieselbe Struktur auf: Tafel 3 $\otimes$ $e$ $a$ $b$ $c$ $e$ $e$ $a$ $b$ $c$ $a$ $a$ $b$ $c$ $e$ $b$ $b$ $c$ $e$ $a$ $c$ $c$ $e$ $a$ $b$ wobei sich folgender Zusammenhang ergibt: $id$ verhält sich in Tafel 1 wie $\bar{0}$ in Tafel 2 bzw. wie $e$ ind Tafel 3 $D_{90}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\bar{1}$ in Tafel 2 bzw. wie $a$ ind Tafel 3 $D_{180}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\bar{2}$ in Tafel 2 bzw. wie $b$ ind Tafel 3 $D_{270}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\bar{3}$ in Tafel 2 bzw. wie $c$ ind Tafel 3