Isomorphie und Homomorphie von Gruppen SoSe 2017

Isomorphie von Gruppen Beispiele Deckdrehungen des Quadrates und $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,\oplus ]$ Wir betrachten die folgenden beiden Gruppen: $[D_4,\odot ]$ mit $D_4=\{id,D_{90},D_{180},D_{270}\}$ und $\odot$ ist die NAF von Abbildungen. $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_4,\oplus ]$ Die beiden Gruppentafeln sehen wie folgt aus: Tafel 1 $\odot$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $D_{90}$ $D_{90}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $D_{180}$ $D_{180}$ $D_{270}$ $id$ $D_{90}$ $D_{270}$ $D_{270}$ $id$ $D_{90}$ $D_{180}$ Tafel 2 $\oplus$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{1}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{3}$ $\bar{3}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ Beide Gruppentafeln weisen vom Prinzip her dieselbe Struktur auf: Tafel 3 $\otimes$ $e$ $a$ $b$ $c$ $e$ $e$ $a$ $b$ $c$ $a$ $a$ $b$ $c$ $e$ $b$ $b$ $c$ $e$ $a$ $c$ $c$ $e$ $a$ $b$ wobei sich folgender Zusammenhang ergibt: $id$ verhält sich in Tafel 1 wie $\bar{0}$ in Tafel 2 bzw. wie $e$ ind Tafel 3 $D_{90}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\bar{1}$ in Tafel 2 bzw. wie $a$ ind Tafel 3 $D_{180}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\bar{2}$ in Tafel 2 bzw. wie $b$ ind Tafel 3 $D_{270}$ verhält sich in Tafel 1 wie $\bar{3}$ in Tafel 2 bzw. wie $c$ ind Tafel 3 $[\mathbb{\mathbb{Z}},+]$ und $[2\mathbb{\mathbb{Z}},+]$ Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der geraden ganzen Zahlen sind gleichmächtig zueinander: Die Abbildung $\phi$ mit $\phi (z)=2z,\mathrm{\forall }z\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ ordnet jeder ganzen Zahl genau eine gerade ganze Zahl zu. Umgekehrt bildet ${\phi }^{-1}$ mit ${\phi }^{-1}(z)=\frac{z}{2}$ jeder geraden ganzen Zahl ihr Urbild bei $\phi$ zu. $\phi$ ist eine 1-1-Abbildung von der Menge der ganzen Zahlen auf die Mange der geraden ganzen Zahlen. 1-1-Abbildungen von-auf werden auch Bijektionen genannt. Beispiel 3 Alle Gruppen der Ordnung 3 sind isomorph zueinander. Beweis: Übungsaufgabe * e a b e e a b a a b e b b e a $\oplus$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{1}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{2}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$