Lösung von Aufgabe 12.4

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt $P$ auf eine Gerade $g$.

Existenz

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$
Behauptung: Es existiert ein Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Analoge Behauptung (Definition von Lot) Es existiert eine Senkrechte auf $g$, die durch $P$ geht.
Hilfskonstruktion: Es existieren zwei VERSCHIEDENE Punkte $A\in g$ und $B\in g$ mit dem selben Abstand zu $P$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$|AP|=|BP|$	Hilfskonstruktion, Axiom vom Lineal
(II)	Es existiert ein Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$	Eindeutigkeit des Mittelpunktes
(III)	$\mathrm{\angle }PAB\cong \mathrm{\angle }PBA$	Gleichschenkliges Dreieck
(IV)	$\overline{AMP}\cong \overline{BMP}$	SWS - (I), (II), (III) (I) $|AP|=|BP|$ --> S (III) $\mathrm{\angle }PAB\cong \mathrm{\angle }PBA$ --> W (II) $|AM|=|MB|$ (Definition Mittelpunkt) --> S
(V)	$\mathrm{\angle }AMP\cong \mathrm{\angle }BMP$	(IV), Dreieckskongruenz
(VI)	$|\mathrm{\angle }AMP|=|\mathrm{\angle }BMP|=90$	(V), Definition rechte Winkel: kongruente Nebenwinkel

Es existiert ein Strahl $M{P}^{+}$, der mit $M{A}^{+}$ oder $M{B}^{+}$ einen rechten Winkel bildet, anders ausgedrückt: Es existiert eine Senkrechte auf $g$ (da $A\in g$ und $B\in g$), die durch $P$ geht.
zu Schritt (I): Es ist ein leichtes (sag ich mal so), zu beweisen, dass ein Punkt $P$ zu entweder keinem, zu einem oder zu zwei Punkten einer Gerade $g$ einen bestimmten Abstand hat. Der Fall, dass wir eine Strecke von $P$ auf dem Strahl $p$ antragen und keinen Schnittpunkt mit $g$ erhalten, kann man schnell ad acta legen, macht keinen Sinn! Wenn es nur einen Punkt gibt, dann sind wir fertig, das ist das Lot (das kann später bewiesen werden). Genau genommen ist der Schritt (1) also: Wir wählen einen beliebigen Punkt $A\in g$ und tragen (nach Axiom vom Lineal) die Strecke $|\overline{PA}|$ auf einem beliebigen zweiten Strahl $p_2$ von $P$ aus an und finden so den Punkt $B\in g$
--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)

Eindeutigkeit

Voraussetzung: Gerade $g$, Punkt $P\notin g$, Lot $l$von $P$ auf $g$ mit Lotfußpunkt $L$
Behauptung: Es existiert genau ein Lot von $P$ auf $g$.
Indirekter Beweis - Annahme: Es existieren zwei "Lote" von $P$ auf $g$.
Annahme: Es existiert ein zweiter Lotfußpunkt $L^{\prime }$

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es existiert ein Dreieck $\overline{PL{L}^{\prime }}$	VSS, Punkte $L{L}^{\prime }P$ sind nicht kollinear, da $L\in g\wedge L^{\prime }\in g\wedge P\notin g$ laut Definition Lot und Lotfußpunkt.
(II)	$|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Annahme, $L^{\prime }$ ist Lotfußpunkt
(III)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|=90$	VSS, $L$ ist Lotfußpunkt
(IV)	Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|=90$	Supplementaxiom
(V)	$|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<$ Außenwinkel von $|\mathrm{\angle }L{L}^{\prime }P|$ $|\mathrm{\angle }PL{L}^{\prime }|<90$	Schwacher Außenwinkelsatz
(VI)	Annahme muss verworfen werden	Widerspruch zwischen (V) und (III) !!!

--Heinzvaneugen 00:27, 13. Jul. 2010 (UTC)