Gruppendefinition (lang): Unterschied zwischen den Versionen
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Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat: | Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat: | ||
*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math> | *(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math> | ||
==Definition 5: (Abelsche Gruppe)== | |||
Wenn in einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> für alle Gruppenelemente <math>a</math> und <math>b</math> <math>a \odot b=b\odot a</math> gilt, dann heißt <math>[G,\odot]</math> kommutative oder abelsche Gruppe. | |||
=Bemerkungen= | =Bemerkungen= | ||
==Additiv geschriebene Gruppen== | |||
Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element <math>n</math> und schreibt die die Inversen als <math>-a</math>.<br /> | |||
Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt. | |||
==Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)== | |||
Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt: | |||
# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math> | |||
# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>. | |||
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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Version vom 5. November 2017, 16:16 Uhr
DefinitionenDefinition 1: (Algebraische Struktur)Eine Menge zusammen mit einer Operation oder Relation auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. Schreibweise: Definition 2: (Halbgruppe)Eine algebraische Struktur heißt Halbgruppe, wenn
auf abgeschlossen und assoziativ ist.
Definition 3: (Monoid)Eine Halbgruppe heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:
Definition 4: (Gruppe)Ein Monoid heißt Gruppe, wenn jedes Element von in ein inverses Element bzgl. hat:
Definition 5: (Abelsche Gruppe)Wenn in einer Gruppe für alle Gruppenelemente und gilt, dann heißt kommutative oder abelsche Gruppe. BemerkungenAdditiv geschriebene GruppenUnsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element und schreibt die die Inversen als . Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)Eine nichtleere Menge zusammen mit einer Verknüpfung heißt Gruppe, wenn gilt:
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