Gruppendefinition (lang)

Definitionen Definition 1: (Algebraische Struktur) Eine Menge $S$ zusammen mit einer Operation $o$ oder Relation $r$ auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. Schreibweise: $[S,o]$ bzw $[S,r]$ Definition 2: (Halbgruppe) Eine algebraische Struktur $[H,\odot ]$ heißt Halbgruppe, wenn $\odot$ auf $H$ abgeschlossen und assoziativ ist. D.h. es gilt: (Abgeschlossenheit) $\mathrm{\forall }a,b\in H:a\odot b\in H$ (Assoziativität) $\mathrm{\forall }a,b,c:(a\odot b)\odot a=a\odot (b\odot c)$. Definition 3: (Monoid) Eine Halbgruppe $[M,\odot ]$ heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat: (Einselement) $\mathrm{\exists }e\in M\mathrm{\forall }a\in M:e\odot a=a\odot e=a$ Definition 4: (Gruppe) Ein Monoid $[G,\odot ]$ heißt Gruppe, wenn jedes Element von $G$ in $G$ ein inverses Element bzgl. $\odot$ hat: (inverse Elemente) $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\odot a^{-1}=a^{-1}\odot a=e$ Definition 5: (Abelsche Gruppe) Wenn in einer Gruppe $[G,\odot ]$ für alle Gruppenelemente $a$ und $b$ $a\odot b=b\odot a$ gilt, dann heißt $[G,\odot ]$ kommutative oder abelsche Gruppe. Bemerkungen Additiv geschriebene Gruppen Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element $n$ und schreibt die die Inversen als $-a$. Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt. Definition 4*: (Gruppe, Langfassung) Eine nichtleere Menge $G$ zusammen mit einer Verknüpfung $\oplus$ heißt Gruppe, wenn gilt: $\oplus$ ist abgeschlossen auf $G$: $\mathrm{\forall }a,b\in G:a\oplus b\in G$ $\oplus$ ist assoziativ auf $G$: $\mathrm{\forall }a,b,c:(a\oplus b)\oplus a=a\oplus (b\oplus c)$ Es gibt in $G$ bzgl. $\oplus$ ein neutrales Element $n$: $\mathrm{\exists }n\in G\mathrm{\forall }a\in G:a\oplus n=n\oplus a=a$ Jedes Element aus $G$ hat in $G$ ein inverses Element bzgl. $\oplus$: $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }-a\in G:a\oplus -a=-a\oplus a=n$.