Lösung von Aufgabe 8.1

Es sei $\mathrm{E}$ eine Ebene, die durch die Gerade $g$ in die beiden Halbebenen $g{Q}^{+}$ und $g{Q}^{-}$ eingeteilt wird. Ferner sei $R$ ein Punkt der Halbebene $g{Q}^{-}$, der nicht auf der Trägergeraden $g$ liegen möge. Beweisen Sie: $g{R}^{+}\equiv g{Q}^{-}$ und $g{R}^{-}\equiv g{Q}^{+}$

Lösung

Voraussetzung: ${gQ}^{+}$ und ${gQ}^{-}$ $R\in {gQ}^{-}$ mit $R\in ̸g$
Behauptung: ${gR}^{+}\equiv {gQ}^{-}$ und ${gR}^{-}\equiv {gQ}^{+}$, d. h. <br\> 1) $\mathrm{\forall }P\in {gQ}^{-}\Rightarrow P\in {gR}^{+}$ <br\> 2) $\mathrm{\forall }P\in {gQ}^{+}\Rightarrow P\in {gR}^{-}$ <br\> zu 1)<br\>

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{\forall }P\in {gQ}^{-}\Rightarrow \overline{PQ}\cap g\ne \{\}$	nach Definition Halbebene
(II)	$\overline{RQ}\cap g\ne \{\}$	nach Voraussetzung und Definition Halbebene
(III)	$\overline{RP}\cap g=\{\}$	Axiom v. Pasch
(IV)	$P\in {gR}^{+}$	(III) und Definition Halbebene

zu 2) analog zu 1)