Umkehrung von Implikationen SoSe 2018

Allgemein Wir betrachten die Implikation $a\Rightarrow b$. Die Implikation $b\Rightarrow a$ ist die Umkehrung der Implikation $a\Rightarrow b$. Wir vertauschen also die Rolle von Voraussetzung und Behauptung der Ausgangsimplikation. Beide Implikationen, Ausgangsimplikation und zugehörige Umkehrung, müssen nicht zwangsläufig denselben Wahrheitsgehalt haben. Beispiele Beispiel 1: Teilbarkeit durch 3 und 9 Implikation: Aus der Teilbarkeit durch 9 folgt die Teilbarkeit durch 3 Wenn eine Zahl $9$ ein Teiler von $a$ ist, dann ist $3$ auch ein Teiler von $a$. Voraussetzung: $9\mid a$ Behauptung: $3\mid a$ Die Implikation ist wahr, wie der folgende Beweis zeigt: Wir übersetzten die Voraussetzung: $9\mid a$ bedeutet: $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{\mathbb{Z}}:n\cdot 9=a$. Wir übersetzen die Behauptung: $3\mid a$ bedeutet: $\mathrm{\exists }m\in \mathbb{\mathbb{Z}}:3\cdot m=a$. Unter der Voraussetzung, dass eine ganze Zahl $n$ existiert, die mit $9$ multipliziert $a$ ergibt, müssen wir also zeigen, dass es eine ganze Zahl $m$ gibt, die mit $3$ multipliziert $a$ ergibt. $m=3n$ leistet das Verlangte: $3\cdot m=3\cdot (3\cdot n)=(3\cdot 3)\cdot n=9\cdot n=a$. Umkehrung: Aus der Teilbarkeit durch 3 folgt die Teilbarkeit durch 9 Wenn eine Zahl durch $3$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $9$ teilbar. Voraussetzung der Umkehrung: $3\mid a$ Behauptung der Umkehrung: $9\mid a$ Die Umkehrung einer Implikation ist selbst wieder eine Implikation. Die Aussage Wenn eine Zahl durch $3$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $9$ teilbar. ist wie die Implikation, aus der sie durch Umkehrung entstand, eine Allaussage: $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{\mathbb{Z}}:3\mid a\Rightarrow 9\mid a$ Nun gibt es ganze Zahlen wie etwa $666$ (the number of the biest), die sowohl durch $3$ als auch durch $9$ teilbar sind. Weil aber z.B. $66$ zwar durch $3$, aber nicht durch $9$ teilbar ist, muss die Umkehrung unserer Ausgangsimplikation keine wahre Aussage. Beispiel 2: In jedem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils kongruent zueinander Der Begriff Parallelogramm sei entsprechend der Semantik der Begriffsbezeichnung definiert: Jedes Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten ist ein Parallelogramm. Implikation Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind seine gegenüberliegenden Seiten jeweils kongruent zueinander. Wir spezifizieren die Aussagen der Implikation bzgl. eines Vierecks $\overline{ABCD}$. Voraussetzung: $\overline{ABCD}$ ist ein Parallelogramm. Behauptung: Die gegenüberliegenden Seiten von $\overline{ABCD}$ sind kongruent zueinander. Wir formulieren Voraussetzung und Behauptung entsprechend der Eckpunktsbezeichnungen unseres Parallelogramms und wenden dabei die Definition des Begriffs Parallelogramm an: Voraussetzung für $\overline{ABCD}$ formuliert: V1: $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$ V2: $\overline{AD}\parallel \overline{BC}$ Behauptung für $\overline{ABCD}$ formuliert: B1: $\overline{AB}\cong \overline{CD}$ B2: $\overline{AD}\cong \overline{BC}$ Beispiel 3: Jauch reloaded Implikation: Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm Unter einem Rechteck wollen wir ein Viereck verstehen, dessen Diagonalen kongruent zueinander sind und die sich gegenseitig halbieren. Ein Parallelogramm sei als Viereck definiert, dessen gegenüberliegende Seiten jeweils kongruent zueinander sind. Unsere Implikation spezifiziert sich wie folgt: Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbierend und zueinander kongruent sind, dann sind die gegenüberliegenden Seiten dieses Vierecks jeweils kongruent zueinander. Voraussetzung