Serie 3 SoSe 2018

Übungsaufgaben zum 01.05.2018

Aufgabe 3.1 SoSe 2018

Es sei $ {\overline {ABC}} $ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei $ C $ sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck
(a) den Satz des Pythagoras,
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras,
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.

Aufgabe 3.2 SoSe 2018

Es sei $ {\overline {ABC}} $ ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel $ \gamma $ sei ein Rechter.
Beweisen Sie:
$ {\begin{matrix}(a)&b^{2}&=&q&\cdot &c\\(b)&a^{2}&=&p&\cdot &c\end{matrix}} $

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

Aufgabe 3.3 SoSe 2018

Zwischendurch eine Definition:
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie:
Definition: (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden)

Es sei $ g $ eine Gerade.

Der Punkt $ P $ wird bei der Spiegelung an $ g $ auf sich selbst abgebildet, wenn ...

Ansonsten gilt für $ P $ und sein Bild $ P' $ bei der Spiegelung an $ g $ ...

Aufgabe 3.4 SoSe 2018

Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.

Aufgabe 3.5 SoSe 2018

Es sei $ k $ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $ M $. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von $ k $ versteht.

Aufgabe 3.6 SoSe 2018

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
$ {\overline {ABCD}} $ und $ {\overline {EFGH}} $ seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen.

Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats $ {\overline {ABCD}} $ bzw.$ {\overline {EFGH}} $ ist gleich.

Aufgabe 3.7 SoSe 2018

Gegeben sei ein Dreieck $ {\overline {ABC}} $ mit dem Umkreis $ k $. Der Mittelpunkt von $ k $ möge ein Punkt der Strecke $ {\overline {AB}} $ sein. Der Winkel $ \angle CAB $ habe die Größe $ 25 $°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:

1. $ |\angle ACM| $
2. $ |\angle AMC| $
3. $ |\angle CMB| $
4. $ |\angle ABC| $
5. $ |\angle MCB| $
6. $ |\angle ACB| $

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:

• Innenwinkelsatz für Dreiecke
• Nebenwinkelsatz
• Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke

Aufgabe 3.8 SoSe 2018

Es sei $ {\overline {ABCD}} $ ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: $ AB\|CD $.

Aufgabe 3.9 SoSe 2018

Die folgende Aussage mögen wahr sein:
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.
Wir betrachten den folgenden Satz:

Wenn zwei Geraden $ a $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.

(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen.
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.