Untergruppen, Untergruppenkriterien

Beispiele, Gegenbeispiele Beispiel 1 Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6,\oplus ]$. Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_6=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{5}\}$ Die Gruppentafel sieht wie folgt aus: $\oplus$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{1}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{3}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{4}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{5}$ $\bar{5}$ $\bar{0}$ $\bar{1}$ $\bar{2}$ $\bar{3}$ $\bar{4}$ Wir wählen aus ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_6$ die folgende Teilmenge $2{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6$aus: $2{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6:=\{\bar{0},\bar{2},\bar{4}\}$ $[2{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6,\oplus ]$ ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_6,\oplus ]$ $\oplus$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{0}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{2}$ $\bar{2}$ $\bar{4}$ $\bar{0}$ $\bar{4}$ $\bar{4}$ $\bar{0}$ $\bar{2}$ Beispiel 2 Die Gruppe der Bewegungen Die Gruppenmitglieder Unter einer Bewegung $\beta$ versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich: Es sei $\epsilon$ unsere Ebene. $\beta$ ist Relation $\mathrm{\forall }P\in \epsilon \mathrm{\exists }{P}^{\prime }\in \epsilon :P^{\prime }=\beta (P)$ $\beta$ ist eindeutig und damit Abbildung $\mathrm{\forall }P\in \epsilon :P^{\prime }=\beta (P)\wedge P^{*}=\beta (P)\Rightarrow P^{\prime }=P^{*}$ $\beta$ ist abstandserhaltend $\mathrm{\forall }P,Q\in \epsilon :|PQ|=|\beta (P)\beta (Q)|$ Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit $\mathrm{B}$ bezeichnen. Die Verknüpfung wir wählen als Verknüpfung auf $\mathrm{B}$ die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit $\circ$. $[\mathrm{B},\circ ]$ ist Gruppe Abgeschlossenheit Es seien $\alpha$ und $\beta$ zwei Bewegungen. Wir haben zu zeigen, dass $\alpha \circ \beta$ eine Bewegung ist. Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass $\alpha \circ \beta$ abstandserhaltend ist: $\begin{array}{ccc}(1)& |PQ|=|\alpha (P)\alpha (Q)|& \alpha \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend}\\ (2)& |\alpha (P)\alpha (Q)|=|\beta (\alpha (P))\beta (\alpha (Q))|& \beta \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend}\\ (3)& |PQ|=|\beta (\alpha (P))\beta (\alpha (Q))|& (1),(2)\end{array}$ Assoziativität Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ. Einselement Wir betrachten die Abbildung $\mathrm{id}$, die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet: $\mathrm{\forall }P\in \epsilon :\mathrm{id}(P)=P$${\displaystyle }$ Damit ist $\mathrm{id}$ eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen $\mathrm{id}(A)=A\wedge \mathrm{id}(B)=B,\mathrm{\forall }A,B\in \epsilon$ gilt natürlich auch $|AB|=|\mathrm{id}(A)\mathrm{id}(B)|$.