Gruppendefinition (kurz)

Linksinvers gleich Rechtsinvers Satz 1 Es sei $[G,\odot ]$ eine Gruppe. $\mathrm{\forall }a\in G:a\odot b=e\wedge c\odot a=e\Rightarrow b=c$ Beweis von Satz 1 Es sei $b$ das Linksinverse bzgl. $\odot$ von $a$. Wir multiplizieren $b$ von rechts mit $a$: (I) $a\odot b=e\odot a\odot b$ (Wir haben $a$ mit $b$ von rechts multipliziert (II) $a\odot b=(b^{-1}\odot b)\odot a\odot b$ (Auch $b$ hat ein Linksinverses $b^{-1}$ (III) $a\odot b=b^{-1}\odot (b\odot a)\odot b$ (Assoziativität) (IV) $a\odot b=b^{-1}\odot e\odot b$ ($b$ ist das Linksinverse von $a$) (V) $a\odot b=b^{-1}\odot b$ (Eigenschaften des Einselements) (VI) $a\odot b=e$ ($b^{-1}$ ist das Linksinverse von $b$ Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von $a$ auch Rechtsinverses von $a$ ist. Linkseins gleich Rechtseins Satz 2 Es sei $[G,\otimes ]$ eine Gruppe. Wenn $e\in G$ von links multipliziert Einselement von $[G,\otimes ]$ ist, dann ist $e$ auch von rechts multipliziert Einselement von $G$. Beweis von Satz 2 Es sei $[G,\otimes ]$ Gruppe. Es gelte ferner für das Element $e\in G$ die folgende Eigenschaft: $\mathrm{\forall }g\in G:e\otimes g=g$. Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch $g\otimes e=g$ für alle $g$ aus $G$ gilt. Wir gehen von $(I)e\otimes g=g$. In Gleichung $(I)$ multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit $g^{-1}\otimes g$ und erhalten $(II)$. $(II)e\otimes g\otimes (g^{-1}\otimes g)=g\otimes (g^{-1}\otimes g)$. Aus $(II)$ folgt: $(III)e\otimes g=g\otimes e$ q,e.d. Verkürzte Gruppendefinition Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben: Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise) Eine nichtleere Menge $G$ zusammen mit einer Verknüpfung $\oplus$ heißt Gruppe, wenn gilt: $\oplus$ ist abgeschlossen auf $G$: $\mathrm{\forall }a,b\in G:a\oplus b\in G$ $\oplus$ ist assoziativ auf $G$: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)$ Es gibt in $G$ bzgl. $\oplus$ ein neutrales Element $n$: $\mathrm{\exists }n\in G\mathrm{\forall }a\in G:a\oplus n=a$ Jedes Element aus $G$ hat in $G$ ein inverses Element bzgl. $\oplus$: $\mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\exists }-a\in G:a\oplus -a=n$.