Lösung von Aufgabe 10.2P (WS 18/19)

Beweisen Sie Satz IX.2:
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden a und b mit einem gemeinsamen Schnittpunkt S, sowie zwei Punkten $A\in a$ und $B\in b$, die von S jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung $S_a\circ S_b$. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt $P^{″}=S_a\circ S_b(P)$ gilt: $\left|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}\right|=2\cdot \left|\mathrm{\angle }ASB\right|$.

Vor: P= S_a$\circ$S_b(P). Beh: |<(PSP)|= 2|<(ASB)|
1.) S_a(P) = P' und S_b(P') = P - Vor., Verkettung von Geradenspiegelung
2.) $|\mathrm{\angle }PSA|=|\mathrm{\angle }{P}^{\prime }SA|$ - 1.) Winkelmaßerhaltung
3.) $|\mathrm{\angle }{P}^{\prime }SB|=|\mathrm{\angle }{P}^{″}SB|$ - 1.) Winkelmaßerhaltung
4.) $|\mathrm{\angle }PS{P}^{\prime }|=|\mathrm{\angle }PSA|+|\mathrm{\angle }AS{P}^{\prime }|=2|\mathrm{\angle }PSA|$ - 2.), Winkeladdition
5.) $|\mathrm{\angle }{P}^{\prime }S{P}^{″}|=|\mathrm{\angle }{P}^{\prime }SB|+|\mathrm{\angle }BS{P}^{″}|=2\mathrm{\angle }{P}^{″}SB|$ - 3.), Winkeladdition
6.) $|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}|=|\mathrm{\angle }PS{P}^{\prime }|+|\mathrm{\angle }{P}^{\prime }S{P}^{″}|$ - Winkeladdition
7.) $|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}|=2|\mathrm{\angle }PSA|+2|\mathrm{\angle }{P}^{″}SB|$ - 4.), 5.), 6.)
8.) $|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}|=2(|\mathrm{\angle }AS{P}^{\prime }|+|\mathrm{\angle }{P}^{\prime }SB|$ ) - 7.), Distributivgesetz
9.) $|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}|=2(|\mathrm{\angle }ASB|)$ - 8.) Winkeladdition
=> $|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}|=2|\mathrm{\angle }ASB|$. Die Behauptung ist damit bewiesen.--CIG UA (Diskussion) 21:35, 20. Dez. 2018 (CET)