Lösung von Aufgabe 10.5P (WS 18/19)

Beweisen Sie Satz IX.3: Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt S der beiden Spiegelgeraden a und b Mittelpunkt der Strecke $\overline{P{P}^{″}}$, mit $P^{″}=S_a\circ S_b(P)$.


Vor: P = S_a $\circ$ S_b (P) und $|\mathrm{\angle }ASB|$ = 90° mit A ε a und B ε b; Beh: |PS| = |SP| mit S ε PP
1.) S_a (P) = P' und S_b (P') = $P^{″}$ - Vor., Verkettung von Geradenspiegelungen
2.) $|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}|$ = 2$|\mathrm{\angle }ASB|$ - 1.), Beweis aus 10.2
3.) $|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}|$ = 2 × 90° = 180° - Vor., 2.)
4.) $P,S,P^{″}$ sind kollinear => S ε PP - 3.)
5.) |PS| = |P'S| und |P'S| = $|S{P}^{″}|$ - 1.), Längenerhaltung
6. |PS| = $|S{P}^{″}|$ - 5.)
7.) Zw (P,S,P) - 4.), 6.), Zwischenrelation
=> S liegt auf $\overline{P{P}^{″}}$ und ist von beiden Endpunkten gleich weit entfernt, die Behauptung ist bewiesen.--CIG UA (Diskussion) 22:12, 20. Dez. 2018 (CET)