Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade: Unterschied zwischen den Versionen
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| Konstruiere einen Punkt N auf g.<br />Fall 1: Falls <math>P1N \perp g</math>, dann ist <math>\overline{P1N}</math> unser Lot.<br />Fall 2: <math>P1N \not\perp g</math>, dann weiter mit (II) | |||
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Version vom 18. Juli 2010, 19:00 Uhr
Der Begriff des Lotes
Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)
- Es sei $ \ P $ ein Punkt, der nicht zur Geraden $ \ g $ gehören möge. ...
- ...Die Gerade $ \ l $, die senkrecht auf $ \ g $ steht und durch den Punkt $ \ P $ geht heißt Lotgerade von $ \ P $ auf $ \ g $. Der Schnittpunkt $ \ L $ von $ \ l $ mit $ \ g $, heißt Lotfußpunkt des Lotes von $ \ P $ auf $ \ g $. Unter dem Lot von $ \ P $ auf $ \ g $, versteht man die Strecke $ {\overline {PL}} $. --Löwenzahn 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)
- Es sei $ \ P $ ein Punkt, der nicht zur Geraden $ \ g $ gehören möge. ...
Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)
- Es sei $ \ P $ ein Punkt außerhalb von $ \ g $. Der Abstand von $ \ P $ zu $ \ g $ ist ...
- ... die Länge der Lotes Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline {PL} von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g . --Löwenzahn 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)
Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
- Zu jedem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P außerhalb einer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g gibt es genau ein Lot von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g .
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
| Beweisschritt | Begründung | |
|---|---|---|
| (I) | Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P1N \perp g , dann ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{P1N} unser Lot. Fall 2: $ P1N\not \perp g $, dann weiter mit (II) |
Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten) |
| (II) | Antragen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha1: \alpha1 \cong \alpha2 | Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom |
| (III) | Antragen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |NP|1: |NP1| \cong\ |NP2| | Konstruktion, Axiom vom Lineal |
| (IV) | Antragen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |NL| \cong\ |NL| | trivial |
| (V) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{LNP1} \cong\ \overline{LNP2} | (II), (III), (IV), SWS |
| (VI) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle NLP1 \cong\ \angle NLP2 | beides rechte Winkel --> Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{PN} ist Lot auf g. |
