Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 20): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 25. Juli 2020, 08:58 Uhr

Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.

Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g

Behauptung: g parallel zu g

Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: $a \cap b = S$ und $a \cap g = P$ und $b \cap g = E$

	Beweisschritt	Begründung
1)	$S_{a} \circ S_{b} (g) = g^{″}$	Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
2)	$S_{a} \circ S_{b} (P) = P^{″} \land S_{a} \circ S_{b} (E) = E^{″}$	Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
3)	$\| < P S E \| = \| < P^{″} S E^{″} \| = \| < a b \|$	Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
4)	$\| P S \| = \| P^{″} S \| \land \| E S \| = \| E^{″} S \|$	Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
5)	$g^{″} \cap a = P^{″} \land g^{″} \cap b = E^{″}$	1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
6)	$g \| \| g^{″}$	3), 4), 5)

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 Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.<br />
+Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g
+Behauptung: g parallel zu g''
+Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: <math>a \cap b = S</math> und <math>a \cap g = P</math> und <math>b \cap g = E</math>
+{| class="wikitable"
+|-
+! !! Beweisschritt!! Begründung
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+| 1)|| <math>S_a\circ S_b(g)=g'' </math>|| Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
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+| 2)|| <math>S_a\circ S_b(P)=P'' \wedge S_a\circ S_b(E)=E''</math> || Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
+|-
+| 3)|| <math> |< PSE| = |< P''SE''|=|< ab|</math>|| Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
+|-
+| 4)|| <math> | PS | = | P''S | \wedge  | ES | = | E''S |</math>|| Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
+|-
+| 5)|| <math>g'' \cap a=P'' \wedge g'' \cap b=E''</math>|| 1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
+|-
+| 6)|| <math>g|  | g''</math>|| 3), 4), 5)
+|}
 [[Kategorie:Geo_P]]