Lösung von Aufgabe 11.2P (SoSe 20)

Beweisen Sie Satz IX.9:
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden a und b. Wir betrachten die Verkettung $S_a\circ S_b$. Jeder Punkt P hat dabei zu seinem Bildpunkt $P^{″}=S_a\circ S_b(P)$ einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden.

Voraussetzung: $S_a\circ S_b(P)=P^{″}$, mit $a||b$

Behauptung: $|P{P}^{″}|=2*|ab|$

	Beweisschritt	Begründung
1)	$|Pa|=|P^{\prime }a|$	Eigenschaft Geradenspiegelung
2)	$|P^{\prime }b|=|P^{″}b|$	Eigenschaft Geradenspiegelung
3)	$|P^{\prime }b|=|P^{\prime }P|+|Pb|$	Skizze (wenn gezeichnet, ist das klar)
4)	$|P^{\prime }b|=|P^{\prime }a|+|Pa|+|Pb|$	1), 3), Skizze
5)	$|ab|=|Pa|+|Pb|$	Skizze
6)	$|P{P}^{″}|=|Pb|+|P^{″}b|=|Pb|+|P^{\prime }b|=|Pb|+2*|Pa|+|Pb|=2*(|Pa|+|Pb|)=2*|ab|$	Skizze, 2), 4), 5)

--tgksope (Diskussion) 11:24, 25. Jul. 2020 (CEST)