Lösung von Aufgabe 12.5

Definieren Sie: Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel
Definitionen im Skript

Definition X.1: (Stufenwinkel)

Lösung 1

1. Wenn zwei Geraden ($g_1$ und $g_2$) von einer dritten Geraden ($h$) geschnitten werden,bezeichnet man die Winkel als Stufenwinkel, bei denen einer der begrenzenden Strahlen Teilmenge der selben Geraden (der Geraden $h$) ist und bezüglich zu einem Punkt $P\in h$ (der nicht zwischen $g_1$ und $g_2$ liegt) die selbe Richtung hat und deren jeweils anderer Strahl bezüglich der Geraden $h$ in der selben Halbebene liegen.
2. Zwei Winkel $\mathrm{\angle }ABC$ und $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sind Stufenwinkel, wenn die Strahlen $B{A}^{+}$ und $B^{\prime }A{\text{'}}^{+}$ in der selben Halbebene bezüglich der Geraden $B{B}^{\prime }$ liegen und es gilt: $\mathrm{Zw}(B,C^{\prime },B^{\prime })\wedge \mathrm{Zw}(C^{\prime },B,C)$.
3. Zwei Winkel $\mathrm{\angle }ABC$ und $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sind Stufenwinkel, wenn die Punkte $A$ und $A^{\prime }$ in der selben Halbebene bezüglich der Geraden $B{B}^{\prime }$ liegen und es gilt entweder:

$B^{\prime }C{\text{'}}^{+}\cong B^{\prime }{C}^{+}\wedge BC{\text{'}}^{-}\cong B{C}^{+}$ oder

$BC{\text{'}}^{+}\cong B{C}^{+}\wedge B^{\prime }C{\text{'}}^{-}\cong B^{\prime }{C}^{+}$.

--Heinzvaneugen 22:24, 12. Jul. 2010 (UTC)

Lösung 2
Mir gefällt eigentlich dein zweiter Ansatz ganz gut. Allerdings verstehe ich nicht ganz, was du mit der Zwischenrelation gemeint hast. Ist das notwendig für die Definition? Mein Verbesserungsvorschlag wäre auch, so wenig Punkte wie möglich zu benutzen. Das würde dann ungefähr so aussehen:

Zwei Winkel $\mathrm{\angle }ABC$ und $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }C{C}^{\prime }$ heißen Stufenwinkel, wenn die Punkte $A$ und $A^{\prime }$ bezüglich der Geraden $BC$ in ein und derselben Halbebene liegen und $\mathrm{koll}(B,C,C^{\prime })$ gilt.

Was hältst du davon?
--Barbarossa 20:29, 23. Jul. 2010 (UTC)

Definition X.2: (Wechselwinkel)

Lösung 1

Zwei Winkel $\mathrm{\angle }ABC$ und $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sind Wechselwinkel, wenn die Punkte $A$ und $A^{\prime }$ in verschiedenen Halbebenen bezüglich der Geraden $B{B}^{\prime }$ liegen und es gilt entweder: $\mathrm{Zw}(B,C^{\prime },B^{\prime })\wedge \mathrm{Zw}(B,C,B^{\prime })$ oder $\mathrm{Zw}(C,B^{\prime },C^{\prime })\wedge \mathrm{Zw}(C,B,C^{\prime })$
--Heinzvaneugen 22:24, 12. Jul. 2010 (UTC)

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

Lösung 1

Zwei Winkel $\mathrm{\angle }ABC$ und $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sind entgegengesetzt liegende Winkel (Nachbarwinkel), wenn die Punkte $A$ und $A^{\prime }$ in der selben Halbebene bezüglich der Geraden $B{B}^{\prime }$ liegen und es gilt entweder: $\mathrm{Zw}(B,C^{\prime },B^{\prime })\wedge \mathrm{Zw}(B,C,B^{\prime })$ oder $\mathrm{Zw}(C,B^{\prime },C^{\prime })\wedge \mathrm{Zw}(C,B,C^{\prime })$
--Heinzvaneugen 22:24, 12. Jul. 2010 (UTC)

Lösung 2

Zwei WInkel $alpha$ und $beta$ sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn $alpha$ und $beta$ bezüglich der Geraden $g$ in ein und derselben Halbebene liegen, wobei gilt, dass jeweils ein Schenkel der Winkel eine Teilmenge dieser Geraden ist. Diese Schenkel haben entweder keinen Schnittpunkt gemeinsam oder der Schnitt der beiden Schenkel bildet eine Strecke.
--Löwenzahn 09:32, 14. Jul. 2010 (UTC)