Lösung von Aufgabe 5.6 P (WS 20 21)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $E\setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $A,B\in E\setminus g$ gilt: $A\mathrm{\Theta }B:\iff \overline{AB}\cap g=\{\}$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\mathrm{\Theta }$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\mathrm{\Theta }$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\mathrm{\Theta }$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) $A$ und $B$ sind Punkte der selben Halbebene.
--Werzdavid (Diskussion) 16:06, 2. Dez. 2020 (CET) b) reflexiv: Die Strecke von $A$ nach $A$ ist gleich dem Punkt $A$, welcher nicht Element von $g$ sein kann.

symmetrisch: Da $\overline{AB}\cap g\iff \overline{BA}\cap g$ ist die Relation symmetrisch.

transitiv: Wenn $A$ und $B$ in der selben Halbebene liegen und $B$ und $C$ auch, dann liegen auch $A$ und $C$ in der selben Halbebene.--Werzdavid (Diskussion) 16:06, 2. Dez. 2020 (CET)