Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe 22)

Beweisen Sie Satz IX.2:
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden a und b mit einem gemeinsamen Schnittpunkt S, sowie zwei Punkten $A\in a$ und $B\in b$, die von S jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung $S_a\circ S_b$. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt $P^{″}=S_a\circ S_b(P)$ gilt: $\left|\mathrm{\angle }PS{P}^{″}\right|=2\cdot \left|\mathrm{\angle }ASB\right|$.
Beweis: ein Versuch

Vor: P``= Sa verkettet mit Sb(P) mit S = a schneidet b, A Element a. B Element b, A und B sind ungleich S Beh: Winkel PSP``= 2* Winkel ASB

Beweis: 1. S Element a und S Element b, Begründung: Vor 2. A Element a und B Element b, A und B ungleich S, Begründung: Vor 3. P Element Halbebene a+, Begründung: Vor., Def. Halbebene 4. P``ist Bildpunkt von P, Begründung: 1., 2., 3., Def. Verkettung von Abbildungen 5. Abstand SP ist gleich dem Abstand SP``, Begründung: 4., Def. Verkettung von Abb., Satz IX.1: jeder Punkt P liegt mit seinem Bildpunkt P``= Sa verkettet SB(P) um einen Kreis K um S 6. Strecke SP sowie Strecke SP``= Radius von K, Begründung: 5., Streckentreue, 7. Winkel PSP``= 180 Grad, Begründung: 4., 5., 6., Def. Winkel: ein Winkel besteht aus zwei Strahlen SP+ und SP``+, Scheitelpunkt des Winkels ist S 8. Winkel ASB + Winkel ASB`= 180 Grad, Begründung: 1., 2., Definition Supplementärwinkel: Winkel heißen supplementär, wenn sie zusammen 180 Grad ergeben 9. Winkel ASB = 90 Grad, Begründung: 8., Def. Punktspiegelung und Geradenspiegelung 10. Winkel PSP``= 2* Winkel ASB, Begründung: 9., Definition Drehung : eine Drehung ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit S als Schnittpunkt 11. Behauptung stimmt--Kwd077 (Diskussion) 12:29, 27. Jun. 2022 (CEST)