Auftrag der Woche 5 (WS 25 26)

Entwerfen Sie eigene Klausuraufgaben für Ihre Kommilitoninnen und Kommilitonen und stellen Sie diese hier ein. Schreiben Sie bitte keine Übungs- oder Zusatzaufgaben ab, sondern erfinden Sie wirklich neue eigene Aufgaben. Ordnen Sie Ihre Aufgaben in Schwierigkeitsgrade ein.

Leichte Aufgaben:

Gegeben sei ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit AB || CD und |AD| = |BC|.

a) Formulieren Sie den folgenden Satz präzise: „In einem gleichschenkligen Trapez sind die Basiswinkel an der längeren Basis kongruent.“

b) Formulieren Sie die Umkehrung dieses Satzes.

c) Fassen Sie Satz und Umkehrung zu einem Äquivalenzsatz zusammen.

Mittelschwere Aufgaben:

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit |AC| < |AB|. Zeigen Sie, dass gilt: ∠B < ∠C.

a) Zwei Studierende präsentieren folgende Beweise für die Behauptung. Entscheiden Sie für jeden Beweis, ob er korrekt ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

Beweis A: Da |AC| < |AB|, ist das Dreieck bei den Punkten C und B nicht gleichschenklig. Nach der Umkehrung des Basiswinkelsatzes folgt daraus direkt ∠B ≠ ∠C. Da außerdem |AC| < |AB| gilt, muss der gegenüberliegende Winkel größer sein, also ∠B < ∠C.

Beweis B: Wir nehmen an, ∠B ≥ ∠C. Dann ist nach dem Satz über die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln im Dreieck |AC| ≥ |AB|. Dies widerspricht der Voraussetzung |AC| < |AB|. Also muss ∠B < ∠C gelten.

b) Führen Sie selbst einen Widerspruchsbeweis der Behauptung.