Lösung von Aufgabe 5.6

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $E\setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $A,B\in E\setminus g$ gilt: $A\mathrm{\Theta }B:\iff \overline{AB}\cap g=0$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\mathrm{\Theta }$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\mathrm{\Theta }$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\mathrm{\Theta }$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) Die Punkte A und B stehen genau dann in Relation, wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat.
b) Reflexivität: aRa
zu zeigen: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.
Bei der Strecke AA handelt es sich um einen Punkt. Laut Vorrausetzung liegt der Punkt in E, hat aber keinen Schnittpunkt mit g.
Somit gilt: Strecke AA geschnitten mit g ist die leere Menge.

Symmetrie: aRb, bRa
zu zeigen:

• Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,
  
• Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.
  

Bei den Strecken AB und BA handelt es sich um die gleiche Strecke. Nach Voraussetzung liegen die Punkte A und B in der Ebene haben aber keinen Schnittpunkt mit g. (Wenn die Strecke AB keinen Schnittpunkt mit g hat, dann hat auch die Strecke BA keinen Schnittpunkt mit g).
Es gilt:

• Strecke AB geschnitten mit g ist die leere Menge,
  
• Strecke BA geschnitten mit g ist auch die leere Menge.
  

Transitivität: aRb, bRc draus folgt aRc
Die Punkte A, B, C liegen in der Ebene und haben keinen Schnittpunkt mit g.
Schneidet g die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC nicht, dann wird auch die Seite AC nicht von g geschnitten.- Satz von Pasch --Engel82 00:45, 11. Nov. 2010 (UTC)